4.6. Комбинированный метод

Пусть f(a)·f(b) < 0, а f(x) и f(x) сохраняют постоянные знаки на отрезке [a¸ b]. Соединяя метод хорд и метод касательных, получаем метод, на каждом шаге которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня ξ уравнения f(x) = 0. Теоретически здесь возможны четыре случая:

• f(x) > 0; f(x) > 0;

• f(x) > 0; f(x) < 0;

• f(x) < 0; f(x) > 0;

• f(x) < 0; f(x) < 0.

Рассмотрим только первый случай, так как остальные три ведут себя аналогично и могут быть сведены к первому.

Итак, пусть f(x) > 0 и f(x) > 0 при . Полагаем, что (для метода хорд), (для метода касательных). Тогда новые значения корня вычисляем по формулам

(4.18)

Рис. 4.4 наглядно иллюстрирует суть комбинированного метода.

Рис. 4.4. Уточнение корня комбинированным методом

Доказано, что . Следует обратить внимание на то, что на каждом шаге метод хорд применяется к новому отрезку . Если задать максимальное значение погрешности ε > 0, процесс уточнения значения корня продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие

. (4.19)

Пример 4.1. Вычислить с точностью до 0.0005 положительный корень уравнения

f(x) = x⁵ – x – 0.2 = 0.

На первом этапе отделения корней выбрали интервал [1.0, 1.1], на концах которого функция имеет противоположные знаки. Действительно, f(1) = – 0.2 < 0, f(1.1) = 0.31051 > 0. В выбранном нами интервале f(x) > 0, f(x) > 0, то есть знаки производных сохраняются.

Применим комбинированный метод, приняв . По формулам (4.18) вычислим

.

Так как точность недостаточная (погрешность велика), вычислим следующие значения:

Таким образом, за два шага мы обеспечили требуемую точность.

Замечания

• Комбинированный метод наиболее трудоемок.

• Метод, как и метод Ньютона не всегда сходится (почему?).

• Комбинированный метод сходится быстрее всех ранее рассмотренных, (если он сходится).