3.4. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

A = [a_ij] (i,j = 1,2, ..., n). (3.19)

Необходимо найти её обратную матрицу

A^-1 = [x_ij] (i,j = 1,2, ..., n). (3.20)

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

A·A^-1 = E, (3.21)

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы A и A^-1, получаем n² уравнений относительно n² неизвестных x_ij:

(i,j = 1, 2, ..., n), (3.22)

где

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для j = 1, 2, ..., n, имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Рассмотрим это подробнее, вычислив матрицу, обратную :

Разделив все коэффициенты первой строки на a₁₁ = 2, получим первую главную строку (обратите внимание, что с n столбцами свободных членов проводятся те же действия, что и с одним):

1.0 0.5 -0.05 0.5 0.5 0 0 0

1.0 13.4 -29 -0.6667 3.333 0 0

.

Для проверки перемножим полученную обратную матрицу и исходную (должны получить единичную):

.

Благодаря округлению, убеждаемся, что обратная матрица вычислена неточно. В дальнейшем можно показать, как методом простой итерации можно уточнить A^-1.