7.2. Интерполирование алгебраическими многочленами

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y_{0 =} f(x₀);…, y₁= f(x₁);…,y_{n =} f(x_n). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = P_n(x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i = 0, 1 2,…, n) совпадают со значениями данной функции, то есть P(x_i) = y_i.

Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида

(7.1)

проходящую через заданную систему точек М_i(x_i,y_i) (см. рис. 7.1). Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки x_i (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции.

Рис. 7.1. Интерполирование алгебраическим многочленом

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а₀, а₁, а₂ ,…, а_n получаем систему линейных уравнений

(7.2)

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек x_i (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.

Решение системы (7.2) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

Запишем без вывода интерполяционный многочлен Лагранжа:

(7.3)

Нетрудно заметить, что старшая степень аргумента х в многочлене Лагранжа равна n. Кроме этого, несложно показать, что в узловых точках значение интерполяционного многочлена Лагранжа соответствует заданным значениям f(x_i).