3.3. Схема Гаусса с выбором главного элемента

Рассмотрим СЛАУ

(3.17)

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы (3.17):

. (3.18)

Среди элементов матрицы a_ij (i,j = 1, ...n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент a_pq. Строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Далее вычисляем множители m_i = a_iq / a_pq для всех i  p.Затем преобразуем матрицу (3.18) следующим образом: из каждой i-ой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на m_i. В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца за исключением a_pq, равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M₁ с числом строк и столбцов на 1 меньше.

Над матрицей М₁ повторяем те же операции, после чего получим матрицу M₂ и т.д. Таким образом продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую тоже считаем главной.

Затем объединим все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных x_i (i = 1, 2, ..., n). На этом заканчивается обратный ход.

Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа m_i и тем самым уменьшить погрешность вычислений.

Пример 3.4. Рассмотрим СЛАУ, состоящую из трех уравнений. Запишем расширенную матрицу

m₂ = -1/6; m₃ = -2/3.

m₂ = -5/16.

M₂ = [ 87/96 174/32].

x₃ = 6; x₁ = 3; x₂ = -2.