3.6. Метод простой итерации (метод Якоби)

Рассмотрим систему

A·x = f, (3.27)

где матрица A = [a_ij] (i,j = 1, 2, …m) имеет обратную матрицу; x = (x₁, x₂, x₃,…x_m) – вектор неизвестных, f – вектор свободных членов.

Преобразуем систему (3.27) к следующему виду:

(i = 1, 2, …m), (3.28)

где , , при этом предполагаем, что .

Условимся, как обычно, считать значение суммы равным нулю, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Тогда при i = 1 уравнение (3.28) имеет вид

(3.29)

В методе простой итерации (методе Якоби) исходят из записи системы в виде (3.28), итерации при этом определяют следующим образом:

(3.30)

Начальные значения – (i = 0, 1, … m) задаются произвольно. Окончание итерационного процесса определяют либо заданием максимального числа итераций n₀, либо следующим условием:

(3.31)

где ε > 0.

В качестве нулевого приближения в системе (3.30) примем

. (3.32)

Если последовательность приближений x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., x_m⁽⁰⁾, x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, ..., x_m⁽¹⁾, ..., x₁^(k), x₂^(k), ..., x_m^(k) имеет предел

, (3.33)

то этот предел является решением системы (3.28).

Достаточным условием сходимости решения системы (3.27) является то, что матрица A является матрицей с преобладающими диагональными элементами, то есть

(3.34)