6.4. Машины Тьюринга как модели алгоритмов

В 1937г. английский математик Тьюринг опубликовал работу, в которой он, уточняя понятие алгоритма, прибегал к воображаемой вычислительной машине.

Машина должна перерабатывать какие-то объекты в исходные результаты. Этими объектами являются слова, построенные из символов-букв.

Машина состоит из бесконечной в обе стороны ленты, разбитой на ячейки, и рабочей головки. Машина работает в дискретные моменты времени t=0,1,2… В каждый момент времени во всякой ячейке ленты записана одна буква из некоторого конечного алфавита А={а₀, а₁,…а_n}, называемым внешним алгоритмом машины, а головка находится в одном состояний из конечного множества внутренних состояний Q={q₀, q₁,…,q_z}. Будем считать, что а₀-пустой символ, т.е. в ячейке ничего не написано.

Основной частью машины является логический блок, который работает следующим образом. В каждый момент времени рабочая головка обозревает одну ячейку ленты и в зависимости от того, что там написано и от своего внутреннего состояния она заменяет символ в обозреваемой ячейке, переходит в новой состояние и сдвигает на одну ячейку или остается на месте. Введем для обозначения этого движения символы d_-1, d₀, d₊₁ соответственно. Т.о. работа МТ задается системой команд вида:

q_j*a_i-q_k*a_x*d_y

Все случаи сочетания q_j и a_i для разных j и j и все реакции машины на них можно представить в виде функциональной таблицы с двумя входами. Если головка в состоянии q_j читаем символ a_i, то в следующий момент она записывает в эту ячейку символ a_x переход.. в состояние q_k и в зависимости от того каково dy головка сдвигает на одну ячейку влево, вправо или остается на месте.

Примеры построения машин Тьюринга

1. Постороить машину Тьюринга, реализующую «сложение» чисел.

В машине Тюринга все числа представляются в единичном коде, состоящем из Х единиц. Поэтому сложить а и в значит переработать слова 1^а * 1^в в слово 1^а+в. Это преобразование выполняет машина c 4-мя состояниями и системой команд вида λ

*λ d+

q1 qz

c1 λd+ λ λ d+

q2 q3

1λ d-

1 1d+ * 1 d-

q1* q2 λ d+

q11 q2 λ d+

q21 q21d+

qz* q31d-

q31 q31d-

q3 λ qz λ d+

2. Построить машину Тьюринга, которая вычисляет функцию а(Х)=Х+1

число Х запишем в виде строки, состоящей из букв 1 (палочек)

При работе машины возможны два случая:

1. работа машины после конечного числа шагов прекратили с выдачей сигнала «останов.»

2. Машина никогда не останавливается, никакого результата она не дает.

В первом случае говорят, что машина применила к исходному данному, во втором – не применима. Соответствия устанавливаются между теми исходными данными, к которым они применимы, и результат ее работы представляет собой некоторую функцию (в математическом смысле).

Если для функции f(x) можно построить МТ, которая к ней применима, то говорят, что f(x) вычислена по Тьюрингу. Функцию, для вычисления которой существует МТ, называют вычислимой.

Тезис Тьюринга: любая вычислимая функция вычислимая по Тьюрингу, или всякий алгоритм может быть реализован машиной Тьюринга.

Проблема остановки: Можно ли построить машину То такую что для любой машины Тк любых исходных данных а для машины Т.

Ответ на этот вопрос отрицательный, т.к. сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема Тьюринга: не существует машины То, решающей проблему остановки для произвольной машины Т.

Неразрешимость проблемы остановки можно интерпретировать как несуществование общего алгоритма для отладки программы.