2.1. Декартово произведение

Декартовым, или прямым, произведением двух множеств А и В (обозначается А  В) называется множество всех таких упорядоченных пар (a, b), что a  A и b  В. Пусть, например, А = {a, b, c} и B = {l, m}. Тогда А  В = {(a, l), (b, l), (c, l), (a, m), (b, m), (c, m)}. Это понятие распространяется на случай с более чем одним сомножителем. Декартово произведение множеств А₁, А₂, … , А_п (обозначается А₁  А₂  …  А_п) есть множество всех векторов (а₁, а₂, … , а_п) размерности п, таких, что a₁  A₁, a₂  А₂, … , a_п  А_п.

Декартово произведение п одинаковых сомножителей А  А  …  А обозначается символом А^п и называется п-й степенью множества А. При этом А¹ = А. Примером декартова произведения является R  R = R² – множество точек на плоскости. Здесь элементы х  R и у  R служат координатами некоторой точки на плоскости. Другим примером является множество R³ точек в трехмерном евклидовом пространстве. Обобщением этих понятий является п‑мерное пространство.

Любое подмножество R  А₁  А₂  …  А_п декартова произведения п множеств называется п-арным отношением. При п = 1, 2, 3 имеем унарное, бинарное, тернарное отношения соответственно. Унарное отношение на множестве А представляет собой подмножество множества А.