Методические указания

Разбиением множества M на классы называется представление данного множества в виде суммы попарно непересекающихся его подмножеств M_i, i = 1, 2, ..., n, таких, что каждый элемент множества M является в то же время и элементом подмножеств M_i (в точности одного подмно­жества M_i), т.е.

М = М₁М₂ ... М_n

М_i М_j = 0 при ij; М_i М_j = М_i при i=j; i,j = 1,2, ...,n.

Классы М_i называются классами эквивалентности. Ес­ли элементы m_t и m_k принадлежат одному и тому же классу, то они называются эквивалентными по отношению к данному разбиению.

Пусть М = AВС где А, В, С - пересекающиеся множества. Тогда разбиение множества М на классы можно представить в следующем виде:

M=

Решение.

В качестве универсального выберем множество всех деталей. Число его элементов равно 100. Пусть А - множество деталей, обработанных на первом станке, В - на втором, С - на третьем. Число элементов множества А обозначим n(A). Оно равно 42, т.е. n(A)=42. Аналогично, n(В)=30, n(С)=28. Обратимся к диаграмме (рис. 1).

Рис. 1. Диаграмма Эйлера-Венна

Обведенное на чертеже жирной линией множество А∪В∪С есть множество деталей, обработанных хотя бы на одном из станков. Оно разбито на 7 непересекающихся подмножеств, обозначенных на чертеже цифрами. Область 1 есть множество деталей, прошедших обработку на всех трех станках, т.е. множество А∩В∩С. По условию задачи n(А∩В∩С)=3. Множество деталей, обработанных на первом и втором станках, т.е. А∩В, есть сумма областей, помеченных цифрами 1 и 2. Причем область 2 - множество деталей, обработанных только на первом и втором станках.

По условию задачи n(А∩В)=5. Следовательно, число деталей, обработанных только на первом и втором станках, равно 5-3=2. Аналогично, число элементов множества, обозначенного цифрой 3, есть число деталей, прошедших обработку на первом и третьем станках, оно равно n(А∩С) - n(А∩В∩С)=10-3=7. Число деталей, прошедших обработку только на втором и третьем станках (область 4), равно n(В∩С) -n(А∩В∩С)=8-3=5.

Область, помеченная на чертеже цифрой 5, есть множество деталей, обработанных только на первом станке. Число элементов этого множества получим, если из числа всех обработанных на первом станке деталей вычесть число деталей, обработанных одновременно на первом и втором, а также на первом и третьем станках, в том числе и на всех трех станках, 42-(3+2+7)=30.

Аналогично можно определить число деталей, обработанных только на втором станке (область 6), 30-(3+2+5)=20, а также только на третьем (область 7) 28-(3+7+5)=13. Число всех обработанных деталей, т.е. n(А∪В∪С), получим, если сложим число элементов всех областей с 1 по 7. Оно равно 80. Дополнением к нему является множество необработанных деталей U\ А∪В∪С = А∪В∪С , n(А∪В∪С )=100-80=20.