4.3. Интерпретации булевой алгебры

Рассматриваемая абстрактная булева алгебра имеет ряд интерпретаций, используемых в различных приложениях.

Булева алгебра множеств описана в гл. 1. Здесь значениями переменных служат подмножества универсального множества U. Константам 1 и 0 соответствуют множества U и . Все соотношения, приведенные в гл. 1, совпадут с основными законами абстрактной булевой алгебры, если операцию дополнения множества заменить на операцию отрицания, а операции  и  (пересечения и объединения множеств) – соответственно на операции  и  (конъюнкции и дизъюнкции).

Интерпретацией абстрактной булевой алгебры является также алгебра событий, используемая в теории вероятностей. Алгебру событий составляют семейство подмножеств множества элементарных событий U и определяемые над этими подмножествами операции отрицания (), объединения () и пересечения (). Любое событие может произойти или не произойти (наступить или не наступить). Отсутствие события А обозначается как А. Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается А  В или АВ. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается А  В.

Еще одной интерпретацией является алгебра переключательных схем. Переменным этой алгебры соответствуют элементы переключательной схемы – переключатели. Переключательный элемент, состояние которого представляется булевой переменной а, может быть замкнут, тогда через него течет ток и а  1. Если он разомкнут, то тока нет и а  0. По состояниям переключателей в схеме можно определить, проходит ли по данной схеме ток. На рис. 4.1, а изображено последовательное соединение двух переключателей а и b. Данная схема будет пропускать ток в том и только в том случае, когда оба переключателя замкнуты, т. е. если a  b  1. На рис. 4.1, б изображено параллельное соединение переключателей а и b. Ток будет протекать, если замкнут хотя бы один из переключателей, т. е. если a  b  1.

Два или более переключателей можно условно связать таким образом, чтобы они замыкались и размыкались одновременно. Такие переключатели обычно обозначаются одним и тем же символом. Каждому переключателю можно поставить в соответствие другой переключатель так, чтобы когда один из них замкнут, другой был разомкнут. Если один из них обозначить буквой а, то другой примет обозначение а. В схеме на рис. 4.2 пойдет ток, если и только если а b  bc ab  1. Левая часть этого уравнения представляет структуру схемы.

–––а –––

––––– а ––––– b ––––– ––––– ––––– ––– b –––

а) б)

Рис. 4.1. Примеры соединения переключателей: а) последовательное;

б) параллельное

Другим типом переключательной схемы является схема из электронных логических элементов, где булевы переменные представляются сигналами в виде высокого или низкого потенциала, а элементы реализуют операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

 а   b 

–––––––––– b –––––с ––––––––––

а  b 

Рис. 4.2. Пример переключательной схемы

В исчислении высказываний переменными являются высказывания, принимающие истинные или ложные значения, которые соответствуют константам 1 и 0. Символы операций и их названия в данном случае совпадают не случайно. На основе исчисления высказываний можно выделить булеву алгебру высказываний, которая является одной из интерпретаций абстрактной булевой алгебры. Высказываниеa истинно тогда и только тогда, когда а ложно. Оно читается как «не а» или «не верно, что а». Высказывание a  b, читаемое как «a и b», истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания a и b. Высказывание a  b читается как «a или b». Оно истинно, если хотя бы одно из высказываний a и b истинно, и ложно, если оба высказывания ложны.

Другие операции алгебры логики также могут иметь интерпретации в исчислении высказываний. Союз «или» может быть использован при прочтении высказывания a  b. Наряду с «a либо b» его можно читать как «или a, или b». Оно истинно, когда истинно только одно из высказываний a и b, и ложно, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Высказывание a ~ b истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний a и b совпадают. Это высказывание может быть прочитано следующим образом: «a равносильно b», «a, если и только если b», «a тогда и только тогда, когда b». Импликация a  b читается как «если a, то b». Это высказывание ложно, когда а истинно, а b ложно. Во всех остальных случаях оно истинно.