4.6.2. Удаление избыточных литералов

Рассмотрим второй вид избыточности в ДНФ, когда D = хk  D = k  D. Здесь избыточным является литерал х. Правую часть этого равенства можно представить следующим образом:

k  D = k(х х)  D = хk  D хk = D хk.

Отсюда видно, что литерал х в выражении хk  D является избыточным, если конъюнкция хk является избыточной в выражении D хk. Следовательно, задача определения избыточности литерала в ДНФ сводится к предыдущей задаче – задаче определения избыточности элементарной конъюнкции.

Удаление литерала из ДНФ в матричном представлении выражается в замене нуля или единицы в троичной матрице на значение «–». На основании предыдущих рассуждений это можно сделать, если вектор, полученный из строки, содержащей данный нуль или единицу, заменой этого значения на противоположное ему значение (т. е. 0 на 1 или 1 на 0), является избыточным для рассматриваемой матрицы.

Таким образом, для того, чтобы решить вопрос о том, можно ли заменить 0 (или 1) в i-й строке и j-м столбце на значение «–», надо построить минор, образованный столбцами, где i-я строка имеет значения «–», и строками, не ортогональными вектору, полученному из i-й строки заменой нуля (или единицы) в j-м столбце на противоположное значение. Если полученный минор оказался вырожденной матрицей, то такая замена возможна.

Рассмотрим матрицу

.

Чтобы узнать, является ли 0 в строке 1 и столбце х₆ избыточным, построим минор, образованный единственным столбцом х₅, где строка 1 имеет значение «–», и единственной строкой 3, не ортогональной вектору (0 1 1 0 – 1). Единственный элемент в этом миноре имеет значение 1. Он является невырожденной матрицей. Следовательно, нуль в строке 1 и столбце х₆ нельзя заменить на «–».

Рассмотрим теперь единицу в строке 3 и столбце х₃. Минор, образованный столбцами х₁ и х₄ и строками 2 и 4, не ортогональными вектору (– 1 0 – 1 1), имеет вид

.

Вырожденность этого минора говорит о том, данную единицу можно заменить значением «–». Выполнив такую замену, получим матрицу, эквивалентную исходной матрице:

.