logo
кр одмита

1.2.Операции над множествами

Самого по себе понятия множества еще недостаточно – необходимо определить способы конструирования новых множеств из уже имеющихся, т.е. определить операции над множествами.

  1. Объединением АВ двух множеств А и В является множество М, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы к одному из множеств А и В, т.е.

М= АВ ={mmА или mВ }.

  1. Пересечением АВ двух множеств А и В является множество М, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В, т.е.

М= АВ ={mmА и mВ }.

3. Разностью А \ В множеств А и В является множество М, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В, т.е.

М= А \ В ={mmА и m В }

4. Симметрической разностью АВ (А + В) множеств А и В является множество М, содержащее все элементы из А, не принадлежащие В, а также все элементы из В, не принадлежащие А, т.е.

М= АВ ={mmА и m В }или ={mmА и m В }

5. Дополнением( до.) множестваМ является множество, состоящее из элементов универсального множества, не принадлежащих М , т.е.

= {mmиm М }

Операцию дополнения обозначают символом .

На основе введенных выше операций строятся теоретико-множественные формулы.

а) Любой символ, обозначающий множество, есть формула;

б) Если А и В - формулы, то АВ, АВ, А \ В, А∆В (А+В) – также есть формулы.

Операции объединения, пересечения и дополнения называются булевыми. Бинарные операции объединения, пересечения, разности и унарная операция дополнения проиллюстрированы на диаграммах Венна (рис.1.1). Результирующее множество элементов, соответствующее каждой из этих операций, изображено заштрихованной областью.

Рис.1.1. Операции над множествами: а) объединение; б) пересечение; в) разность; г) дополнение; д) симметрическая разность.

Операции пересечения и объединения допускают следующие обобщения. Пусть I– некоторое множество, элементы которого используются как индексы, и пусть для любого iI множество Аi известно. Тогда

Аi = {х i I х Аi }, Аi = {х i I х Аi }.