2.4. Функциональные отношения

Отношение R  А  В называется функциональным, если для каждого а  А сечение множества R по а содержит не более одного элемента, т.е. для каждого а справедливо {a │ (a, b)  R, b  B}|  1. В функциональном отношении не существует пар с одинаковым левым элементом и различными правыми элементами, т. е. если (а, b)  R и R – функциональное отношение, то в R не может быть пары вида (а, с), где b  c. Матрица, представляющая функциональное отношение, в каждой строке имеет не более одной единицы. Примером может служить следующая матрица:

.

Если сечение функционального отношения R по любому элементу а из множества А содержит один и только один элемент, то отношение R называется всюду определенным.

Если отношение R ^– 1, обратное для функционального отношения R, также является функциональным, то отношение R называется взаимно однозначным.

Для всякого функционального отношения R  А  В можно определить функцию, связанную с этим отношением. Для обозначения функции используется запись f : A  B. Если (х, у)  R, то это можно выразить как у = f(x), где х является аргументом, а у – значением функции f.

Множество {x / (x, y)  R} называется областью определения функции f. Если это множество совпадает с А, то функция f является всюду определенной. Такая функция называется отображением множества А в В. В противном случае функцию называют частичной.

Множество {у / (x, y)  R} называется областью значений функции f. Если область значений функции f совпадает с множеством В, то f называют отображением А на В, сюръективным отображением, или сюръекцией. Обязательным условием существования отображения А на В является А  В.

Если функциональное отношение R  А  В, определяющее функцию f, является взаимно однозначным, то функцию f называют инъективным отображением, или инъекцией. В этом случае существует функция f ^– 1, которая является обратной к функции f. При этом если у = f (x), то х = f ^– 1(у), а мощность области определения функции f не должна превышать В.

Функция f называется биективным отображением, или биекцией, если она является как сюръективным, так и инъективным отображением. Такое отображение называется еще 1-1 соответствием.

Если R – взаимно однозначное отношение между элементами одного и того же множества, т. е. R  А  А = А², и, кроме того, R и R ^– 1 всюду определены, то отображение, связанное с R, называется подстановкой.

На рис. 2.1 изображены схемы рассмотренных видов отображений.

а) б)

в)

Рис. 2.1. Схемы функциональных отображений: а) сюръекция; б) инъекция;

в) биекция

Функция, определенная на множестве натуральных чисел, называется последовательностью, а каждое ее значение – членом последовательности.

Отображение f произвольного множества в множество действительных чисел называется функционалом. Примером функционала может служить определенный интеграл.

Отображение f : A  B, где А и В – некоторые множества функций, называется оператором. Оператор преобразует одну функцию в другую. Примером оператора является оператор суперпозиции функций, где аргументами некоторых функций служат другие функции. Это понятие будет использовано далее.