6.3. Кризис теории множеств антиномии. Выводы из антиномий

До середины XIX века никто не сомневался в истинности математических результатов, залогом чего считалась истинность аксиом. Исследования Лобачевского сокрушили веру в аксиомы и заставили задуматься над тем, что же является фундаментом математики. Оказалось, что все вопросы можно свести к рассмотрению только натуральных чисел и некоторых отношений между ними. Была доказана возможность полной арифметизации матанализа и теории функций. На втором Международном Математическом Конгрессе было заявлено, что теперь в математике остались только целые числа и конечные или бесконечные множества целых чисел. Математика полностью арифметизирована. И вот тогда, когда математика обрела надежный фундамент сама арифметика пошатнулась из-за того что в теории множеств были обнаружены противоречия, вошедшие в историю математики под названием антиномий.

Две теории Кантора из теории множеств.

Кардинальное число множества М называется его мощностью и обозначается m.

Теорема 1: Для любого кардинально числа m справедливо неравенство m<2^m, где 2^m – мощность множества всех подмножеств бесконечного множества.

Теорема 2: Мощность m’ подмножества множеств, имеющих мощность m, удовлетворяет неравенству m’<= m

Парадокс Кантора.

Пусть М множество всех множеств обозначим его кардинальное число буквой m. В силу теоремы 1 кардинальное число множества его подмножества 2^m удовлетворяет условию 2^m> m с другой стороны множество m есть множество всех множеств его подмножества являются множествами и значит являются элементом М, а их множества являются подмножествами множества М. По теореме 2 должно иметь место неравенство 2^m<= m полученные два неравенства противоречат друг другу. Для создание парадоксальной ситуации мы привлекли к рассмотрению очень своеобразное множество всех множеств для него характерно то, что оно является своим собственным элементом т.е. М ¢ М а бывают ли такие множества. Действительно множества коров не может быть своим собственным элементом, так как оно не корова. А рассмотрим акционеров, которые могут быть юридическими лицами, т.е. отдельные граждане и акционерное общество. Если целое АО потом Х скупило часть своих акций, то Х является как множеством акционеров, так и самим акционером, т.е. Х¢Х. Парадокс возникает и с множествами, не содержащими себя в качестве своих элементов.

Парадокс Рассела (парадокс брадобрея).

Один из солдат оказался по профессии парикмахером, узнав об этом, командир приказал ему брить всех тех и только тех, кто сам себя не бреет. Все было хорошо, пока не пришло время побрить самого себя оказалось, что побрить самого себя нельзя, так парикмахер брил только тех, кто себя не бреет. Не брить себя тоже нельзя, потому что приказано брить всех, кто себя не бреет.

Открытие антиномий потрясло математику и математиков, как землетрясение. Нужно сказать, что математики по-разному отреагировали на это заявление: одни стали во всем сомневаться, другие на антиномии не отреагировали. Но многие стали искать пути устранения противоречий: некорректные поиски множества, пересмотр логики, формалисты решили, что математика должна аксиомотезирована, причина кризиса в том, что ряд математических объектов и методов является неконструктивным: нельзя работать с актуально бесконечными множествами или завершения бесконечных множеств.