Textbook

5.1. Метод Ньютона

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(5.1)

с действительными левыми частями. Систему (5.1) можно представить в матричном виде

(5.2)

Здесь приняты следующие обозначения:

- вектор аргументов, а - вектор – функция.

Для решения системы (5.2) воспользуемся методом последовательных приближений. Предположим, что найдено р-ое приближение x_p= (x₁⁽^p⁾, x₂⁽^p⁾ , ..., x_n⁽^p⁾) одного из изолированных корней x = (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) векторного уравнения (5.2). Тогда точный корень уравнения (5.2) можно представить в виде

(5.3)

где - поправка (погрешность) корня на n – ом шаге.

Подставив выражение (5.3) в (5.2), получим

(5.4)

Предположим, что функция f(x) - непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x⁽^p⁾. Тогда левую часть уравнения (5.4) разложим в ряд Тейлора по степеням малого вектора ε⁽^p⁾, ограничиваясь линейными членами:

, (5.5)

или в развернутом виде:

(5.6)

Из анализа формул (5.5) и (5.6) следует, что под производной f(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f_{1 ,}f_{2, ...,}f_n_,относительно переменных x₁, x₂, x₃, ..., x_n, то есть:

. (5.7)

Выражение (5.7) в краткой записи можно представить:

(5.8)

Выражение (5.6) представляет собой линейную систему относительно поправок (i = 1, 2, ..., n) с матрицей W(x), поэтому формула (5.5) может быть записана в следующем виде:

(5.9)

Отсюда, предполагая, что матрица W(x⁽^p⁾) - неособенная, получим:

(5.10)

Теперь, подставив выражение (5.10) в формулу (5.3), окончательно получим:

(5.11)

Таким образом, получили вычислительную формулу (метод Ньютона), где в качестве нулевого приближения x⁽⁰⁾ можно взять приближенное (грубое) значение искомого корня.

Пример 5.1. Рассмотрим применение метода Ньютона на примере системы двух нелинейных уравнений

(5.12)

Прежде чем разбирать конкретные шаги по решению системы (5.12), распишем в общем виде якобиан для системы из двух уравнений

Здесь A, B, C, D – функционалы от переменных x_1,x₂_.Нас фактически интересует W^-¹. Пусть матрица W- неособенная, тогда обратная матрица вычисляется

Теперь вернемся к системе (5.12). Графическое решение этой системы дает две точки пересечения: М₁ (1.4; -1.5) и М₂ (3.4; 2.2). Зададим начальное приближение:

Используя формулу (5.11), получим:

Аналогично получим:

Содержание