4.6.1. Удаление избыточных элементарных конъюнкций

В первом случае элементарная конъюнкция k избыточна, если k  D = D. Это значит, что k и D находятся в отношении формальной импликации, т. е. k  D. Функция g имплицирует функцию f, если f имеет значение 1 везде, где имеет значение 1 функция g. В рассматриваемом случае ДНФ D обращается в единицу при любом наборе значений переменных, обращающем конъюнкцию k в единицу, независимо от того, какие значения принимают переменные, не входящие в k.

Пусть троичная матрица V представляет ДНФ D, а троичный вектор v – элементарную конъюнкцию k. Тогда результатом подстановки в D значений переменных, обращающих конъюнкцию k в единицу, является минор матрицы V, образованный строками, не ортогональными вектору v и столбцами, соответствующими компонентам вектора v, имеющими значение «–». Если этот минор является вырожденной матрицей, т. е. D тождественно равна единице, то конъюнкция k избыточна. В противном случае вектор, ортогональный всем строкам полученного минора, представляет набор значений переменных, обращающий D в нуль.

Рассмотрим следующую троичную матрицу и проверим на избыточность ее первую строку:

.

Минор, образованный столбцами х₃ и х₆, где элементы первой строки имеют значение «–», и строками 2, 3, 4 и 5, не ортогональными первой строке, имеет вид

.

Эта матрица является вырожденной, следовательно, первая строка избыточна. Любой входящий в нее булев вектор принадлежит некоторому интервалу, представляемому какой-либо из строк данной матрицы.

Удалив строку 1, получим матрицу, в которой строка 2 ортогональна всем остальным ее строкам. Это значит, что никакой булев вектор, принадлежащий интервалу, представляемому данной строкой, не принадлежит никакому из других интервалов, представляемых остальными строками. Соответствующий минор является пустой матрицей (с пустым множеством строк). Такая матрица представляет константу 0. Таким образом, строка 2 не является избыточной.

Что касается строки 3, то соответствующий минор является однострочной невырожденной матрицей:

.

Ортогональным вектором для данной строки является (0 –). Подставив 0 во вторую компоненту строки 3, получим вектор, ортогональный всем строкам матрицы. Строка 3 также является неизбыточной для заданной матрицы.

Выполняя подобные построения над остальными строками, убедимся, что они также не являются избыточными.