4.3. Метод половинного деления (дихотомии)

Сформулируем без доказательства очень важную для рассмотрения дальнейших вопросов теорему.

Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], то есть f(α)·f(β) < 0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, а именно: найдётся хотя бы одно число такое, что f(ξ) = 0.

Пусть дано уравнение

f(x) = 0, (4.3)

где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и f(a)·f(b) < 0. Для нахождения корня уравнения делим отрезок [a, b] пополам:

• если f((a + b)/2) = 0, то ξ = (a + b)/2 является корнем уравнения (4.3);

• если , то выбираем ту половину отрезка [a, (a + b)/2] или [(a + b)/2, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a₁, b₁] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.

Очевидно, что закончить уточнение значения корня можно при достижении условия |а_j – b_j| < ε , где ε > 0 - сколь угодно малое число. Второй способ закончить вычисления - задать максимальное значение невязки: f((a_j + b_j)/2) < ε.

Замечания

• Метод половинного деления очень прост, здесь нет вычислительной формулы и можно обеспечить практически любую точность.

• Как недостаток метода можно отметить его медленную сходимость (за один шаг интервал, где находится корень, сужается всего в два раза).