7.4. Сходимость интерполяционного процесса

Обсудим следующий вопрос: будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования f(x) – L_n(x), если число узлов n неограниченно увеличивать:

1. Свойства сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависят как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функции f(x).

2. Известны примеры несложных функций, для которых интерполяционный процесс расходится.

Так последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции по равноотстоящим узлам на отрезке [-1, 1], не сходится к функции ни в одной точке отрезка [-1, 1], кроме точек –1, 0, 1. На рис. 7.2 в качестве иллюстрации изображен график многочлена L₉(x) при , построенного для функции по равноотстоящим узлам на отрезке [-1,1].

Рис. 7.2. Сходимость интерполяционных многочленов

3. Чтобы избежать этих некорректностей, в практике вычислений обычно избегают пользоваться интерполяционными многочленами высокой степени.