1. Элементы теории погрешностей

Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, с различной точностью. Это может быть обусловлено неточностью исходных данных, конечной разрядностью вычислений (вручную или на ЭВМ) и т. п.

Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью.

Отклонение истинного решения от приближенного называется погрешностью. Полная погрешность вычислений состоит из двух составляющих: 1) неустранимая погрешность; 2) устранимая погрешность.

Неустранимая погрешность обусловлена неточностью исходных данных и никаким образом не может быть уменьшена в процессе вычислений.

Устранимая погрешность состоит из двух составляющих: а) погрешность аппроксимации (метода); б) погрешность вычислений. Эти составляющие могут быть уменьшены выбором более точных методов и увеличением разрядности вычислений.

Как правило, в дальнейшем нас будут интересовать корректно поставленные задачи вычисления.

Задача вычисления y = A(x) называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса решение задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным (т. е. непрерывно зависит от входных данных задачи).

В сформулированном понятии корректности учтены достаточно естественные требования, т. к. чтобы численно решать задачу, нужно быть уверенным, что ее решение существует. Столь же естественны требования единственности и устойчивости решения.

Рассмотрим подробнее понятие устойчивости. Обычно нас интересует решение y, соответствующее входным данным x. Реально мы имеем возмущенные входные данные с погрешностью δx, т.е. x + δx, и находим возмущенное решение:

y + δy = A(x+δx).

Эта погрешность входных данных порождает неустранимую погрешность решения:

δy = A(x+δx) - A(x).

Если решение непрерывно зависит от входных данных, то всегда при , и задача устойчива по входным данным. Здесь символ || || - норма.

Если X – точное значение величины, а X^* – приближенное значение, то абсолютная погрешность приближения определяется выражением .

Относительной погрешностью величины называется отношение абсолютной погрешности к модулю ее точного значения: δ = Δ / |X|.

Достаточно часто точное значение величины неизвестно, поэтому указывают границы погрешности:

(1.1)

(1.2)

Рассмотрим подробнее погрешность округления чисел, участвующих в вычислениях. В позиционной системе счисления с основанием r запись

(1.3)

означает, что

.

Здесь r – целое число, большее единицы. Каждое из чисел может принимать одно из значений {0, 1, …, r-1}. Числа называются разрядами, например: – третий разряд перед запятой, – второй разряд после запятой.

Запись вещественного числа в виде (1.3) называется также его представлением в форме числа с фиксированной запятой. В ЭВМ чаще всего используется представление чисел в форме с плавающей запятой. Так как наиболее часто в компьютерах применяется двоичная система с плавающей запятой, то вещественное число можно представить виде

(1.4)

где

Здесь p - целое число называется порядком числа a, а – мантиссой.

Если исходная величина или промежуточный результат требуют большего числа разрядов, то производится округление до t – го разряда. Значащие цифры называются верными до t – го разряда, если абсолютная величина разности между a^* и a меньше или равна половине единицы младшего разряда:

. (1.5)

Ограничения на порядки чисел, представляемых в ЭВМ , порой приводят к прекращению вычислений (так называемое исчезновение порядка); в других случаях относительно небольшая разрядность представления чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению результата вычислительной погрешностью.

Приведем несколько примеров иллюстрирующих это и способы (приемы) уменьшения вычислительной погрешности за счет несложных алгебраических преобразований.

Рассмотрим типичный пример, в котором порядок выполнения операций существенно влияет на погрешность результата.

Пример 1.1. Необходимо отыскать минимальный корень уравнения. Вычисления производим в десятичной системе счисления, причем в числе после округления оставляем четыре действующие цифры (разряда):

Рассмотрим другой алгоритм вычисления корня, для чего избавимся от иррациональности в числителе:

Как видно из сравнения полученных результатов, применение "неудач­ного" алгоритма завышает результат на 30 %. Это явление в прикладной математике (в практике вычислений) называется потерей значащих цифр, и часто наблюдается при вычитании близких величин. Потеря значащих цифр, например, довольно часто приводит к существенному искажению результатов при решении даже сравнительно небольших систем линейных алгебраических уравнений.

Пример 1.2. На машине с плавающей запятой необходимо вычислить значение суммы

.

Эту сумму можно вычислить двумя способами:

Оказывается, для второго алгоритма вычислительная погрешность будет существенно меньше.

Тестовые расчеты на конкретной ЭВМ по первому и второму алгоритмам показали, что величина погрешности для обоих алгоритмов составляет 2∙10^-4 и 6∙10^-8соответственно. Причина этого ясна, если вспомним, как числа представлены в ЭВМ (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Представление чисел с плавающей точкой в типичном 32-бит (4 - байт) формате:

а) Число ½; b) число 3; c) число ¼; d) число 10^-7, представленное в машине с максимальной точностью (нормализованное); e) то же самое число 10^-7, но представленное с тем же порядком, что и число 3^; f) сумма чисел 3 + 10^-7, которая эквивалентна 3.

Этот пример ярко иллюстрирует тот факт, что даже если оба слагаемых представлены в компьютере точно, то их сумма может быть представлена с погрешностью, особенно если слагаемые различаются на порядки.

При оценке погрешностей арифметических действий следует учитывать следующее:

а) абсолютная погрешность алгебраической суммы

не превышает суммы абсолютных погрешностей ее членов:

(1.6)

б) относительная погрешность произведения не превышает суммы относительных погрешностей сомножителей:

; (1.7)

в) относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя:

(1.8)