7.6. Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов

При эмпирическом (экспериментальном) изучении функциональной зависимости одной величины у от другой х производят ряд измерений величины у при различных значениях величины х. Полученные результаты можно представить в виде таблицы, графика:

Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе функции, описывающей результаты эксперимента.

Особенность задачи состоит в том, что наличие случайных ошибок измерений делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные значения, то есть график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки. Эмпирическую формулу обычно выбирают из формул определенного типа:

(7.12)

Таким образом, задача сводится к определению параметров a, b, c,… формулы, в то время как вид формулы известен заранее из каких-либо теоретических соображений или из соображения простоты аналитического представления эмпирического материала. Пусть выбранная эмпирическая зависимость имеет вид

(7.13)

с явным указанием всех параметров, подлежащих определению. Эти параметры а₀, а₁, а₂,…, а_n нельзя определить точно по эмпирическим значениям функции y₀, y₁, y₂,…, y_k, так как последние содержат случайные ошибки.

Таким образом, речь может идти только о получении достаточно хороших оценок искомых параметров. Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки всех параметров а₀, а₁, а₂,…, а_n.