Построение противоположных утверждений.

Пусть дано некоторое математическое утверждение А. Ему противоположным будет утверждение .

Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы придать ей хорошо обозри­мый вид.

Так, например, определение ограниченной функции дается формулой:

Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой формулы и проводя равносильные пре­образования:

Последняя формула дает не негативное, а положитель­ное определение неограниченной функции.

Из приведенного определения видно, что для постро­ения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.

Так, утверждение, что даст формула:

Особый интерес представляет построение утвержде­ния, отрицающего справедливость некоторой теоремы: хE(P(x)Q(x)).

Это будет утверждение:

Следовательно, чтобы доказать, что теорема хE(P(x)Q(x)) неверна, достаточно указать такой эле­мент х  Е, для которого Р(х) - истина, a Q(x) - ложь, то есть привести контрпример.

Используя данный прием докажем несправедливость утверждений:

1. «Если дифференцируемая функция y = f(x) имеет в точке х₀ производную, равную нулю (y’=0), то то точка х₀ – точка экстремума.» достаточно указать один пример, опровергающий утверждение теоремы. Функция y = x³ в точке х=0 имеет производную у’=3х² = 0, но эта точка не является точкой экстремума. Значит, теорема не верна.

2. «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является параллелограммом.» В качестве контрпримера можно привести равнобокую трапецию , у которой диагонали равны, но она не является прямоугольником.