3.Операции над функциями. Свойства операций

3.1. Композиция функций

Вспомним аналогичную операцию над бинарными отношениями :

, то .

Пусть даны функции f; X→ Y и g: Y → Z, то называется композицией функций f и g.

3.2. Свойства композиции функций

Свойство 1. Композиция функций является функцией.

Доказательство: Необходимо доказать, что если и , то y = z.

Рассмотрим f и g как бинарные отношения.

Пусть и , тогда

- для (х, у) найдется u такое, что х находится в отношении f с u , u находится в отношении g с у,

- для (х, z) найдется v такое, что х находится в отношении f с v , v находится в отношении g с z.

Т.к. f – функция, то u = v; g – функция, то y = z. Следовательно, h – функция.

Примеры:

а). y = sin²x, где f = sinx, g = f².

б). , где f = x + 2,

Таким образом, композицию функций можно рассматривать:

- как последовательное применение функций f и g;

- g применяется к результату f;

- h получена подстановкой f в g.

Свойство 2. Композиция двух биективных функий есть биективная функция.

Доказательство: , тогда

Найдется v такое, что . А т.к. f и g биективны, то

любому х соответствует единственное v, любому v соответствует единственное у. Отсюда следует, что любому х соответствует единственное у.

В свою очередь, любому у соответствует единственное v, а любому v – единственное х. Отсюда следует, что любому у соответствует единственное х.

Из всего выше сказанного следует, что биективна.

Примеры:

а). y = (х + 3)¹¹, где f = х + 3 - биективна, g = f¹¹ – биективна, следовательно, y = (х + 3)¹¹- биективна.

б). y = (х + 3)¹⁰, где f = х + 3 - биективна, но g = f – не биективна, следовательно, y = (х + 3)¹⁰- не биективна.

3.3. Обратная функция и обратное отображение

Cоответствие Н является обратным для G (H = G^-1), если G : A→B, H: B → A:

Если G – отображение, то Н – так же отображение.

Теорема о существовании обратного отображения: Отображение f: Х → У имеет обратное отображение f^-1: У → Х, тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство: Если f – биекция, то f – сюръективно, т.е. E(f) = Y, следовательно, f^-1 опредеделено на множестве У = D(f^--1). f – функция и и , то имеем и . Кроме того, f – инъективна, следовательно х₁ = х₂.

Для биективных функций справедливы свойства, аналогичные свойствам отношений: