logo
Лекции ДМ

Теорема о количестве элементов прямого произведения.

Пусть А1 , А2 , …, Ап – конечные множества и их мощности соответственно равны | А1| = m1 , |А2| = m2 , …,| Ап|= mn . Тогда мощность множества |А1  А2  …  Аn| = | А1|  |А2| …| Ап| .

Следствие: |An| = |A|n .

Примеры:

  1. Для примера (2) из предыдущего пункта: мощность множества {1, 2, 3, …, 8} {a, b, c, d, …, h} равна 8 8 =64; действительно, количество полей на шахматной доске равно 64.

  2. Для примера (4): мощность множества ХУ или УХ равна 32 =6, в чем убеждаемся, пересчитав пары.

  3. Найдем количество всевозможных двузначных чисел, которые можно составить из цифр от 1 до 9.

Искомое количество, есть количество пар прямого произведения множества А = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} на себя. Пользуясь теоремой , находим: 99 = 81.

  1. Найдем количество всевозможных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр множества В= {5,2,7}. Искомое количество, есть количество троек декартового куба В3 и равно 33 = 27.

  2. Определить длину и количество векторов прямого произведения ABC множеств A ={1,4,7}, B = {0,2}, C = {5}. Элементы прямого произведения трех множеств являются тройки, т.е. длина каждого вектора равна трем. Количество векторов найдем, используя теорему: 321 = 6. Убедимся в верности выводов, найдя векторы прямого произведения : ABC = {(1,0,5), (1,2,5), (4,0,5), (4,2,5), (7,0,5), (7,2,5)}.

Задачи для самостоятельного решения

  1. Определить длину каждого вектора: а(1,2,3,4), b(1,2,2,4,4), с(0), d(5,8), е(1,2,4).

  2. Указать равные векторы: а(2,2,3,4), b(2/1;3;4), с(2,0; 2/1; 3; 4), d(2,3,4,2), f(2,3,4).

  3. Определите количество векторов и их длину прямого произведения множеств АВС, если А={a1, a2,…,a6}, B={b1, b2, b3}, C={c1, c2}.

  4. Найти АВ и ВА, если А={2,5,8}, B={6,7,7,5,8}. Показать на координатной плоскости.

  5. Найти произведения числовых отрезков [3, 5] на [0, 2]; [3, 5] на [0, 2] и на [1, 3].

  6. Найти декартову степень А3, где А={2,4,3}.

Контрольные вопросы

  1. Сформулировать определение вектора.

  2. Что называется длиной вектора?

  3. Какие векторы называются равными?

  4. Что называется прямым произведением двух, n – множеств?

  5. Что называется декартовой степенью множества?

  6. Что является декартовым квадратом и кубом множества действительных чисел R?

  7. Геометрическая интерпретация двух и трех числовых отрезков?