Теорема о количестве элементов прямого произведения.

Пусть А₁ , А₂ , …, А_п – конечные множества и их мощности соответственно равны | А₁| = m₁ , |А₂| = m₂ , …,| А_п|= m_n . Тогда мощность множества |А₁  А₂  …  А_n| = | А₁|  |А₂| …| А_п| .

Следствие: |Aⁿ| = |A|ⁿ .

Примеры:

1. Для примера (2) из предыдущего пункта: мощность множества {1, 2, 3, …, 8} {a, b, c, d, …, h} равна 8 8 =64; действительно, количество полей на шахматной доске равно 64.

2. Для примера (4): мощность множества ХУ или УХ равна 32 =6, в чем убеждаемся, пересчитав пары.

3. Найдем количество всевозможных двузначных чисел, которые можно составить из цифр от 1 до 9.

Искомое количество, есть количество пар прямого произведения множества А = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} на себя. Пользуясь теоремой , находим: 99 = 81.

4. Найдем количество всевозможных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр множества В= {5,2,7}. Искомое количество, есть количество троек декартового куба В³ и равно 3³ = 27.

5. Определить длину и количество векторов прямого произведения ABC множеств A ={1,4,7}, B = {0,2}, C = {5}. Элементы прямого произведения трех множеств являются тройки, т.е. длина каждого вектора равна трем. Количество векторов найдем, используя теорему: 321 = 6. Убедимся в верности выводов, найдя векторы прямого произведения : ABC = {(1,0,5), (1,2,5), (4,0,5), (4,2,5), (7,0,5), (7,2,5)}.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить длину каждого вектора: а(1,2,3,4), b(1,2,2,4,4), с(0), d(5,8), е(1,2,4).

2. Указать равные векторы: а(2,2,3,4), b(2/1;3;4), с(2,0; 2/1; 3; 4), d(2,3,4,2), f(2,3,4).

3. Определите количество векторов и их длину прямого произведения множеств АВС, если А={a₁, a₂,…,a₆}, B={b₁, b₂, b₃}, C={c₁, c₂}.

4. Найти АВ и ВА, если А={2,5,8}, B={6,7,7,5,8}. Показать на координатной плоскости.

5. Найти произведения числовых отрезков [3, 5] на [0, 2]; [3, 5] на [0, 2] и на [1, 3].

6. Найти декартову степень А³, где А={2,4,3}.

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение вектора.

2. Что называется длиной вектора?

3. Какие векторы называются равными?

4. Что называется прямым произведением двух, n – множеств?

5. Что называется декартовой степенью множества?

6. Что является декартовым квадратом и кубом множества действительных чисел R?

7. Геометрическая интерпретация двух и трех числовых отрезков?