Понятие вектора. Прямое произведение множеств.

1.1. Понятие вектора.

Вектор- это упорядоченный набор элементов или упорядоченное множество.

Элементы – это координаты или компоненты вектора.

Нумерация элементов производится слева направо.

Векторы (а₁ , а₂), (а₁ , а₂ , а₃), (а₁ , а₂ , а₃ ,…) называют соответственно двойка, тройка, энка.

Количество элементов в векторе называется длиной вектора.

Равные векторы: два вектора (а₁ , а₂ , а₃ ,…, а_n) и (b₁ , b₂ ,…, b_m) равны тогда и только тогда, когда n = m и а₁ = b₁ , а₂ = b₂ , …, а_n = b_m .

Пример: {1, 2} = {2, 1, 1} = {2, 1}, но (1, 2)  (2, 1, 1)  (2, 1). Только (1, 2) = (1, 2).

0. Прямое произведение множеств.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество всех пар (а, в) таких, что а А и в В.

Обозначение: А В.

Если А = В, то А  В =А² и называется декартовым квадратом.

Приведем формулировку определения прямого произведения n множеств:

Прямое произведение множеств А₁ , А₂ , …, А_n есть множество всех векторов (а₁ , а₂ , а₃ ,…, а_n) длины n таких , что а₁  А₁ , а₂  А₂ , …, а_п  А_п .

Если А₁ = А₂ = … = А_n , то А₁  А₂  …  А_n = Аⁿ и называется декартовой степенью.

Примеры:

1. R – множество действительных чисел, тогда RR = R² – векторы (а, в), где аR и вR, есть координаты точек плоскости.

Такое координатное представление точек плоскости было предложено Декартом и являлось первым в истории примером прямого произведения множеств.

2. Прямое произведение {1, 2, 3, …, 8} {a, b, c, d, …, h}- есть множество клеток шахматной доски.

3. Рассмотрим множество А, элементы которого символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций…), тогда Аⁿ – это слова длиной n (под словом можно понимать текст).

4. Составим прямое произведение множеств Х = {1,2,3}и У= {0,1}: ХУ и УХ. ХУ={(1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1)}. УХ= {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3)}. Геометрическая интерпретация произведения двух конечных множеств- точки плоскости . Как видно из построенных произведений прямое произведение множеств не обладает свойством коммутативности.

5. Построим прямое произведение двух несчетных множеств – числовых отрезков, например, [0,1][1,2]. Результатом данного произведения являются все точки квадрата с вершинами (0,1), (0,2), (1,1) и (1,):

6. Построим прямое произведение трех числовых отрезков, например: [0,1]  [1,2]  [1,2]. Произведением первых двух отрезков является квадрат с вершинами (0,1), (0,2), (1,1), (1,2). Произведением полученного множества точек квадрата на числовой отрезок [1,3] является множество точек прямоугольного параллелепипеда ( в данном случае куба), вершины которого точки: (0,1,1), (0,1,2), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2).