Формула включений и исключений.

Проиллюстрируем теперь применение операций над множест­вами для решения задач о нахождении числа элементов мно­жеств, заданных несколькими условиями. Ниже мы будем рас­сматривать только конечные множества.

Пример: В классе 30 учащихся, 16 из них занимаются му­зыкой, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой, и теннисом. Есть ли в классе ученики, равнодушные и к музыке, и к теннису, и если есть, то сколько их?

Решение: Если сложить число учащихся, интересующихся музыкой, с числом учащихся, занимающихся теннисом, т. е. 16+17=33, то учащиеся, интересующиеся и музыкой, и тенни­сом, окажутся учтенными дважды. Поэтому, чтобы определить число учащихся, интересующихся музыкой или теннисом, нужно из суммы 16+17 вычесть число учащихся, учтенных дважды, т. е. тех, кто интересуется и музыкой, и теннисом. По условию их 10. Таким образом, число интересующихся теннисом или музы­кой равно: 16+17—10=23 ученика. А так как в классе всего 30 учащихся, то 30—23 ==7 учащихся равнодушны и к музыке, и к теннису.

Задача решена по следующему алгоритму: пусть имеется два конечных множества А и В. Тогда:

п(А В) = п(А) + п(В )- п(А В) (1)

В нашем случае А — множество учащихся, интересующихся му­зыкой, и n(A) = 16, В—множество учащихся, интересующихся теннисом, и n(B) = 17, n(AB) =10, и тогда по полученной формуле n(AUВ)=16+17-10=23.

Усложним задачу: пусть к тем, кто интересуется в классе му­зыкой — множеству А, и к тем, кто увлекается теннисом — мно­жеству В, добавляются еще и те, кто интересуется театром— множество С. Сколько учеников увлекается или музыкой, или теннисом, или театром, т. е. чему равно число n{A B  C)?

Если множества А, В и С пересекаются лишь попарно, т. е. АВС=, то подсчет можно вести, как и прежде: снача­ла сложить п(А)+п(В)+п(С), а затем вычесть число тех эле­ментов, которые подсчитаны дважды, т. е. вычесть число n{A B}+n(A C)+n(B C). Если же множество АВС,, то его элементы оказались неучтенными: сначала их трижды учли, когда складывали п(А}+п (В)+п(С), а затем трижды отнимали их, вычитая n{A B}+n(A C)+n(B C).

Таким об­разом, число

п(А)+п(В)+п(С )- (n{A B}+n(A C)+n(B C))

меньше истинного результата ровно на число элементов в пере­сечении множеств АВС, которое и следует добавить для по­лучения верного результата:

п(А)+п(В)+п(С )- (n{A B}+n(A C)+n(B C))+п(А В С) (2)

Аналогичная формула может быть получена для любого числа множеств.

В формулах (1) и (2) подсчитывается, сколько раз каждый элемент включается и исключается, поэтому их называют фор­мулами включений и исключений.

Рассмотрим несколько примеров применения полученных формул.

Пример1: На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриен­тов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стерео­метрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Суще­ствуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Решение. Пусть U — множество всех абитуриентов, А —. множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В — множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии, С — множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии. По условию n(U) =1000, n(A) = 800, n(В)=700, n(С)=600, n(AB)= 600, n(AC) = 500, n(BC) = 400, n(ABC) =300. В множество ABC включены все абитуриенты, решившие хо­тя бы одну задачу. По формуле (2) имеем:

n(А U В U С) == 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 =900.

Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили

n(U) - n(AUBUC)=1000 - 900==100 (абитуриентов).

Пример2: Социологи опросили 45 учащихся девятых клас­сов, среди которых 25 юношей. При этом выяснилось: 30 человек имеют за полугодие оценки 4 и 5, из них 16 юношей, спортом занимаются 28 учеников, среди них 18 юношей, и 17 учеников, успевающих только на хорошо и отлично, 15 юношей учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом. Первый математик класса взглянул на результаты и заявил, что там есть ошибки. Как это ему удалось выяснить?

Решение: Обозначим через А множество юношей, В — множество успевающих на 4 и 5, С — множество спортсменов. По условию задачи n(A)=25, n(В)=30, n(С)=28, n(AB)=16, n(AC)=18, n(BC)=17, n(ABC)=15. Найдем общее чис­ло учащихся, которые или являются юношами, или занимаются спортом, или успевают на 4 и 5. По формуле (2) получаем:

n (A UBUC)=25+30+28- 16- 18- 17+15=47. Этого быть не может, так как обследовалось всего 45 учеников! Следовательно, в данных сведениях есть ошибки.

На рисунке это решение проиллюстрировано с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

В пересечении множеств А, В и С за­пишем число 15, так как по условию n(ABC)=15. В мно­жестве AB\С запишем число 16—15=1, в множестве BC\А - число 18-15=3, в множестве BC\А—число 17-15=2, в множестве A\(BC)— число 25-(1+15+3)=6, в множестве В\(А C) — число 30-(1 + 15+2)= 12, в множест­ве С\(АВ)— число 28-(3+15+2)=8. Чтобы найти n(АВС), достаточно сложить записанные числа, поскольку они соответствуют множествам, не пересекающимся между со­бой. Получим число 47 > 45, что невозможно по условию задачи.

Задачи для самостоятельного решения

1. Опишите множество М точек на плоскости: a) {M| OM = R}; б) {M| OM R}; в) {M| AM = MB}.

2. Даны множества : Построить множество ((АВ)(В\С)) . Найти количество подмножеств построенного множества. Показать соответствующую диаграмму Эйлера – Венна.

3. Доказать с помощью диаграмм Эйлера – Венна справедливость закона поглощения.

4. Доказать тождества с помощью диаграмм и путем преобразований:

5. В отделе института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, причем: 6 знают немецкий, 6 – английский, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 – все три языка. Сколько всего человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский?

6. Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 – не посещают кружки. Сколько учеников посещают математический и физический кружки одновременно, сколько – только математический?

Контрольные вопросы

1. Объясните понятие множества. Приведите примеры множеств. Как обозначаются множества и их элементы?

2. Какие существуют способы задания множеств?

3. С помощью характеристического свойства задайте конечное, бесконечное несчетное, бесконечное счетное и пустое множества.

4. Как обозначается принадлежность элемента множеству и не принадлежность?

5. Какие существуют отношения между двумя множествами?

6. Перечислите операции над множествами с приведением соответствующих диаграмм Эйлера – Венна.

7. Перечислите тождества алгебры множеств.

8. Сформулируйте теорему о количестве подмножеств конечного множества.

9. Запишите формулы количества элементов в объединении двух и трех множеств.