logo
Лекции ДМ

Лекция 13

ТЕМА: ПРИМЕНЕНИЕ ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ДЛЯ ЗАПИСИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОСТРОЕНИЯ ОТРИЦАНИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ.

ПЛАН:

  1. Запись математических предложений в виде формул логики предикатов.

  2. Построение противоположных утверждений.

  3. Прямая, обратная и противоположные теоремы.

  4. Необходимые и достаточные условия.

  5. Доказательство методом от противного.

Главная

  1. Запись математических предложений в виде формул логики предикатов.

Язык логики предикатов удобен для записи матема­тических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать опреде­ления, теоремы, доказательства. Приведем ряд приме­ров таких записей.

1) Определение предела числовой последовательности.

Здесь использован трехместный предикат Q( ,n,no):

2). Определение предела функции в точке.

Здесь использован трехместный предикат Р( , ,х):

3). Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x), определенная на множестве Е, непре­рывна в точке х0Е , если

Здесь также использован трехместный предикат Р( , ,х).

4). Определение возрастающей функции.

Функция f(x), определенная на множестве Е, возра­стает на этом множестве, если

Здесь использован двухместный предикат B(x1 , x2):

5). Определение ограниченной функции.

Функция f(х), определенная на множестве Е, огра­ничена на этом множестве, если

Здесь использован двухместный предикат L(x,M):(|f(x)|M).

Как известно, многие теоремы математики допускают формулировку в виде условных предложений. Например, рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла». Условием этой теоремы является предложение «Точка лежит на биссектрисе угла», а заключением – предложение «Точка равноудалена от сторон угла». Видим, что и усло­вие, и заключение теоремы представляют собой предика­ты, заданные на множестве R2. Обозначая эти предикаты

соответственно через Р(х) и Q(x), где х  R2, теорему можем записать в виде формулы:

В связи с этим, говоря о строении теоремы, можно выделить в ней три части: 1) условие теоремы: предикат Р(х), заданный на множестве R2; 2) заключение теоре­мы: предикат Q(x), заданный на множестве R2; 3) разъяс­нительная часть: в ней описывается множество объек­тов, о которых идет речь в теореме.