4. Обобщение метода математической индукции

Бывают случаи, когда утверждение, неверное для n =1, 2, ... , р - 1, справедливо для n = р. Если затем из предположения о его истинности для n = k>p можно доказать, что оно истинно и для n = k +1, то получаем, что данное выражение истинно для всех n  р.

Пример 6. Докажем, что выражение (кратно 19) для всех натуральных чисел n  3.

Решение. При n = 3 получаем

7³ + 8^23-3 = 343 + 512 = 855 = 45 19

т. е. при n = 3 утверждение верно.

Предположим, что 7^k +8^2k-3 кратно 19 при k >3, и докажем, что 7^k+1 + 8^2(k+1)-3 кратно 19.

По предположению 7^k +8^2k-3 = 19m , где mN , значит,

8^2k-3 = 19m – 7^k.

Отсюда имеем:

7^k+1 + 8^2(k+1)-3 = 7^k+1 + 8^2k-3+2 = 7^k+1 + 648^2k-3 = 7^k+1 + 64(19m – 7^k) = 7^k(7 – 64) + 64 19m = 64  19m – 57  7^k = 19(64m - 37^k),

т. е. выражение кратно 19.

Итак, мы доказали, что утверждение верно для n = 3, и из предположения, что оно верно для n = k>3, доказали его спра­ведливость для n = k + 1. Тогда на основании сказанного выше заключаем, что выражение для всех n  3.

Пример 7. Доказать, что 2ⁿ  5n – 3 при n  5.

При n = 5: 2⁵ = 32, 55 – 3 = 22 и 32 > 22.

Пусть неравенство верно при n = k, k > 5, т.е. 2^k  5k – 3.

Докажем справедливость неравенства при n = k +1, т.е. справедливость неравенства 2^k+1  5(k+1) – 3 или 2^k+1  5k +2.

Умножим обе части неравенства на 2: 2^k+1  2(5k – 3).

Преобразуем правую часть неравенства: 2(5k – 3) = 10k – 6 = 5k + 2 + 5k – 8. Заметим, что 5k – 8  0 при k > 5, тогда 5k + 2 + 5k – 8 > 5k + 2 и, тогда 2^k+1  5k +2.