4.Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).

Среди технических средств автоматизации значитель­ное место занимают устройства релейно-контактного действия. Они широко используются в технике автома­тического управления, в электронно-вычислительной технике и т.д.

Эти устройства (их в общем случае называют пере­ключательными схемами) содержат сотни реле, элект­ронных ламп, полупроводников и электромагнитных элементов. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.

Еще в 1910 году физик П. С. Эренфест указал на воз­можность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем (РКС). Однако его идеи стали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования РКС стало ост­ро необходимым.

Использование алгебры логики в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую фор­мулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логи­ки реализуется с помощью некоторой схемы.

Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы.

С другой стороны, до построения схемы можно зара­нее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.

Рассмотрим, как устанавливается связь между фор­мулами алгебры логики и переключательными схемами.

Под переключательной схемой понимают схематичес­кое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:

1) переключателей, которыми могут быть механичес­кие действующие устройства (выключатели, переключа­ющие ключи, кнопочные устройства и т. д.), электромаг­нитные реле, электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;

2) соединяющих их проводников;

3) входов в схему и выходов из нее (клемм, на кото­рые подается электрическое напряжение). Они называ­ются полюсами схемы.

Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изображаются.

Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называют «замкнутым» и «разомкнутым».

Рассмотрим простейшую схему, содержащую один переключатель Р и имеющую один вход А и один выход В. Переключателю Р поставим в соответствие высказы­вание р, гласящее: «Переключатель Р замкнут». Если р истинно, то импульс, поступающий на полюс А, может быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в этом случае говорить, что схема проводит ток. Если р ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не проводит или на полюсе В снимается минимальное напря­жение при подаче на полюс А максимального напряже­ния.

Если принять во внимание не смысл высказывания, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема 1.

Формулам, включающим основные логические опе­рации, также могут быть поставлены в соответствие пе­реключательные схемы.

Конъюнкция двух высказываний р v q будет представ­лена двухполюсной схемой с последовательным соедине­нием двух переключателей Р и q (схема 2) .

Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда истинны высказывания р и q одновременно, то есть pq  1.

Дизъюнкция двух высказываний рvq двухполюсной схемой с параллельным соединением переключателей Р и Q (схема 3).

Эта схема пропускает ток в случае, если истинно высказывание р или истинно высказывание q, то есть р v q  1 .

Если высказывание есть отрицание высказывания р, то тождественно истинная формула изображается схемой, которая проводит ток всегда (схема 4), а тождественно ложная формула р& изобразится схемой, которая всегда разомкнута (схема 5).

Из схем 1, 2 и 3 путем последовательного и парал­лельного их соединения могут быть построены новые двухполюсные переключательные схемы, которые назы­вают П-схемами.

Как было показано, всякая формула алгебры логики путем равносильных преобразований может быть пред­ставлена в виде формулы, содержащей только две опера­ции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и от­рицание. Из этого следует, что всякая формула алгебры логики может быть изображена П-схемой и, обратно, для любой П-схемы может быть записана формула, ко­торая изображается этой схемой.

Примеры.

1. Формуле соответствует схема 6:

2.

Для схемы 7 соответствующая формула алгебры логики имеет вид:

Упростим эту формулу следующим образом:

Последней формуле соответствует П-схема 8:

Из второго примера следует, что для некоторых РКС путем равносильных преобразований соответствующей форму­лы алгебры логики можно получить РКС, содержащую меньшее число переключателей. Проблема решения этой задачи носит название проблемы минимизации.

Приведем пример построения РКС по заданным усло­виям с оценкой числа контактов.

Построить контактную схему для оценки результатов некоторого спортивного соревнования тре­мя судьями при следующих условиях: судья, засчитыва­ющий результат, нажимает имеющуюся в его распоря­жении кнопку, а судья, не засчитывающий результат, кнопки не нажимает. В случае, если кнопки нажали не менее двух судей, должна загореться лампочка (положи­тельное решение судей принято простым большинством голосов).

Работа нужной РКС описывается функцией Буля трех переменных F(x, у, z), где перемен­ные высказывания х, у, z означают:

х - судья х голосует «за»,

у - судья у голосует «за»,

z - судья z голосует «за».

Таблица истинности функции F(x, у, z) имеет вид:

Функции соответствует формула:

А этой формуле соответствует РКС, изображенная на схеме 7, которая содержит двенадцать переключателей.

Но как было показано, в результате равносильных преобразований формула F(x, у, z) может быть приведена к виду:

которому соответствует РКС, изображенная на схеме 8, содержащей пять переключателей.

Задачи для самостоятельного решения.

1. По таблице истинности найти формулы, определяющие функции F₁, F₂ .

2. Составьте формулу для булевой функции F(x,y,z) = 1, если а) только одна какая-либо переменная равна нулю; б) если большинство переменных равны нулю. Упростите полученные формулы.

3. Составить РКС для формул:

4. Построить схемы, реализующие следующие булевы операции:

1. импликацию;

2. эквиваленцию.

5. Построить РКС для функций, если известно, что:

1. F(0,1,0)=F(1,0,1)=F(1,1,1)=1;

2. F(1,0,1)=F(1,1,0)=1;

6. Упростить РКС:

7. Проверить равносильность схем: