Лекция 3

ТЕМА: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

ПЛАН:

1. Задачи и предмет логики.

2. Понятие высказывания.

3. Логические операции над высказываниями.

4. Формулы алгебры логики.

Главная

1. Задачи и предмет логики.

Математика является наукой, в которой все утвер­ждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мыш­ления. Изучение законов человеческого мышления яв­ляется предметом логики.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. до в.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формаль­ной или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристо­телевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким ма­тематиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце ХVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

«Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал ал­гебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символи­ческих обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики.

Применение математики к логике позволило пред­ставить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач,малодоступных человеческому мышлению, и это, ко­нечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для мате­матики приобрели вопросы обоснования ее основных по­нятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, приведи к дальнейшему развитию мате­матической логики.

Особенности математического мышления объясняют­ся особенностями математических абстракций и много­образием их взаимосвязей. Они отражаются в логичес­кой систематизации математики, в доказательстве ма­тематических теорем. В связи с этим современную мате­матическую логику определяют как раздел математи­ки, посвященный изучению математических доказа­тельств и вопросов оснований математики.

Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматичес­кого метода в построении различных математических те­орий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т. д.

В аксиоматическом построении математической тео­рии предварительно выбирается некоторая система неоп­ределяемых понятий и отношения между ними. Эти по­нятия и отношения называются основными. Далее без доказательства принимаются основные положения рас­сматриваемой теории - аксиомы. Все дальнейшее содер­жание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории бы­ло предпринято Евклидом в построении геометрии.

Изложение этой теории в «Началах» Евклида не без­упречно. Евклид здесь пытается дать определение исход­ных понятия (точки, прямой, плоскости). В доказатель­стве теорем используются нигде явно не сформулирован­ные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость. Отметим, что такой подход к аксиоматическому пос­троению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли ра­боты Н. И. Лобачевского (1792-1856).

Лобачевский впервые в явном виде высказал убежде­ние в невозможности доказательства пятого постулата Ев­клида (через точку, не лежащую на прямой проходит одна и только одна прямая, параллельная данной прямой) и подкрепил это убеждение созданием новой геомет­рии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем фактически была доказана и невозможность доказатель­ства пятого постулата Евклида.

Так возникли и были решены в работах Н. И. Лоба­чевского и Ф. Клейна впервые в истории математики про­блемы невозможности доказательства и непротиворечи­вости в аксиоматической теории.