Значение формулы логики предикатов.

О логическом значении формулы логики предика­тов можно говорить лишь тогда, когда задано множе­ство М, на котором определены входящие в эту форму­лу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов пере­менных: 1) значений входящих в формулу переменных высказываний, 2) значений свободных предметных переменных из множества М, 3) значений предикат­ных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное зна­чение.

Рассмотрим формулу yz(P(x,y)P(y,z)). Двухместный предикат Р(х,у) определен на множестве М х М , где М = {0,l,2,...,n,..} . В формулу входит переменный предикат Р(х,у), предметные переменные х, у, z, две из которых у и z — связанные кванторами, а х - свободная.

Возьмем за конкретное значение предиката Р(х,у) фиксированный предикат Р°(х,у): «х<у», а свобод­ной переменной х придадим значение х⁰ = 5 М . Тогда при значениях у, меньших х° = 5 предикат Р⁰(х⁰,y) при­нимает значение ложь, а импликация Р(х, у)  Р(у, z) при всех z  М принимают значение истина, то есть высказывание yz(P⁰(x,y)P⁰(y,z)) имеет значение «истина».

Рассмотрим еще пример на вычисление значения формулы.

Дана формула x(P(x)Q(x)R(x)), где предикаты определены на множестве N. Найти ее значение , если P(x): «х делится на 3», Q(x): «х делится на 4», R(x): «х делится на 2».

Данная формула является высказыванием, т.к. х связанная переменная. Следовательно, значение формулы будет зависеть только от значений предикатных переменных. P(x)Q(x)- означает, что х делится на 12. Тогда предикат P(x)Q(x)R(x) : «если х делится на 12, то х делится на 2» - тождественно истинный, следовательно формула x(P(x)Q(x)R(x) принимает значение «истина».