3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.

Рассмотрим четыре теоремы:

Пара теорем, у которых условие одной является зак­лючением второй, а условие второй является заключени­ем первой, называются взаимно обратными друг другу.

Так, теоремы (1) и (2) , а также (3) и (4) - взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называ­ют прямой теоремой, то вторая называется обратной.

Пара теорем, у которых условие и заключение одной является отрицанием соответственно условия и заключе­ния другой, называются взаимно противоположными.

Так, теоремы (1) и (3), а также теоремы (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.

Например, для теоремы «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоу­гольником» (1) обратной является теорема «Если четы­рехугольник является прямоугольником, то его диаго­нали равны» (2). Для теоремы (1) противоположной яв­ляется теорема «Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольни­ком» (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема «Если четырехугольник не является прямоуголь­ником, то его диагонали не равны» (4).

В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являют­ся одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновре­менно истинными. Контрпримером к теореме (1) являет­ся равнобокая трапеция.

Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще гово­ря, не равносильны, то есть одна из них может быть истинной, а другая ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также теоремы (2) и (3) всегда равно­сильны. Действительно,

Аналогично доказывается равносильность

Из этих равносильностей следует, что, если доказа­на теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказа­на теорема (2), то доказана и теорема (3).