3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.

Пусть F(x₁, x₂, …, x_n) - произвольная функция алгеб­ры логики п переменных. Рассмотрим формулу

которая составлена следующим образом: каждое слагае­мое этой логической суммы представляет собой конъюн­кцию, в которой первый член является значением функ­ции F при некоторых определенных значениях перемен­ных x₁, x₂, …, x_n ,остальные же члены конъюнкции пред­ставляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те пере­менные, которые в первом члене конъюнкции имеют зна­чение 0.

Вместе с тем формула эта содержит в виде логичес­ких слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида.

Данная формула полностью определяет функ­цию F(x₁, x₂, …, x_n) . Иначе говоря, значения функции F и формулы совпадают на всех наборах значений пере­менных x₁, x₂, …, x_n.

Например, если x₁ принимает значение 0, а осталь­ные переменные принимают значение 1, то функция F принимает значение F(0,1,1,.. .1) . При этом логическое

слагаемое входящее в форму­лу , принимает также значение F(0,1,.. .1) , все ос­тальные логические слагаемые формулы имеют зна­чение 0. Действительно, в них знаки отрицания над переменными распределяются иначе, чем в рассмотрен­ном слагаемом, но тогда при замене переменных теми же значениями в конъюнкцию войдет символ 0 без знака от­рицания, символ 1 под знаком отрицания. В таком слу­чае один из членов конъюнкции имеет значение 0, а по­этому вся конъюнкция имеет значение 0. В связи с этим на основании равносильности х v 0  х значением фор­мулы является .F(0,l,...,l).

Ясно, что вид формулы может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнк­ции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью 1& х  х, этот член конъюнкции можно не выписывать.

Таким образом, в результате получается формула, которая содержит только элементарные переменные выс­казывания и обладает следующими свойствами:

1) Каждое логическое слагаемое формулы содержит

все переменные, входящие в функцию F(x₁, x₂, …, x_n).

2) Все логические слагаемые формулы различны.

3) Ни одно логическое слагаемое формулы не содер­жит одновременно переменную и ее отрицание.

4) Ни одно логическое слагаемое формулы не содер­жит одну и ту же переменную дважды.

Из приведенных рассуждении видно, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единствен­ная формула указанного вида.

Если функция F(x₁, x₂, …, x_n) задана таблицей ис­тинности, то соответствующая ей формула алгебры ло­гики может быть получена следующим образом:

для каждого набора значений переменных, на котором фун­кция F(x₁, x₂, …, x_n) принимает значение 1, запишем конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции х_к ,если значение х_к на ука­занном наборе значений переменных есть 1 и отрицание ,если значение х_к есть 0. Дизъюнкция всех записан­ных конъюнкций и будет искомой формулой.

Пусть, например, функция F(x₁, x₂, х₃) имеет следу­ющую таблицу истинности:

Для наборов значений переменных, на которых функция принимает значение 1составим дизъюнкцию соответствующих конъюнкций:

.