1. Понятие предиката

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинно­сти или ложности. Ни структура высказываний, ни их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, суще­ственным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении «Всякий ромб - паралле­лограмм; ABCD - ромб; следовательно, ABCD - парал­лелограмм» посылки и заключение являются элемен­тарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следова­тельно, алгебра логики, будучи важной частью логи­ки, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика преди­катов, содержащая всю логику высказываний в каче­стве своей части.

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально — подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - ска­зуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект — это то, о чем что-то утверждается в выс­казывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 - простое число», «7» -субъект, «простое число» - предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х - простое чис­ло». При одних значениях х, (например, х = 13, х =17 ) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10 , х = 18 ) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множе­стве N, и принимающую значения из множества {1,0}.

Здесь предикат становится функцией субъекта и выра­жает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатом Р(х) на­зывается произвольная функция переменного х, опреде­ленная на множестве М и принимающая значения из

множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х  М , при которых преди­кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос­ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х  М, Р(х) = 1}.

Так, предикат -Р(х) - «х - простое число» определен на множестве N, а множество Iр для него есть множест­во всех простых чисел.

Предикат Q{x} - « sin х = 0 » определен на множестве R, а его множество истинности I_q= {x| x = k; k Z}.

Предикат F(x) - «Диагонали паралле­лограмма х перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные примеры одноместных предикатов вы­ражают свойства предметов.

Рассмотрим примеры предикатов:

Р(х): «х² + 1> 0, x R»; область определения предиката М= R и область истинности – тоже R, т.к. неравенство верно для всех действительных чисел. Таким образом, для данного предиката М = I_p . Такие предикаты называются тождественно истинными.

В(х): «х² + 1< 0, x R»; область истинности I_p =, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Определение. Предикат Р(х), определенный на мно­жестве М, называется тождественно истинным (тож­дественно ложным), если 1р = М (1р = ).

Предикат sin²x+cos²x=1 – тождественно истинный, предикат - тождественно ложный.

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предика­та, с помощью которого выражаются отношения меж­ду предметами.

Примером отношения между двумя предметами является отношение «меньше» («больше»). Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной фор­мой «х < у»(«х > y») , где х, у  Z , то есть является функцией двух переменных Р(х, у), определенной на множестве Z х Z с множеством значений {1,0}.

Определение. Двухместным предикатом Р(х,у) на­зывается функция двух переменных х и у (субъекты предиката), определенная на множестве М =М₁  М₂ (х М₁ , у М₂ ) и принимающая значения из множества {1,0}.

Найдем значения предиката «х < у» , где х, у  Z для пар (2,1), (4,4), (3,7):

Вместо х и у подставим указанные значения: Р(2,1) = 0, т.к. 2>1; Р(4,4)=0, т.к. 4 = 4; Р(3,7)=1, т.к. 3<7. областью истинности этого предиката является множество всех пар целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству.

Рассмотрим этот же предикат, но с областью определения M = R², тогда область его истинности можно представить графически: это все точки части плоскости (открытая, бесконечная область), лежащей ниже прямой у = х.

В числе примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q(х, у): « х = у » -предикат равенства, определенный на множестве М = R х R , область истинности которого – все точки прямой у = х :

Предикат F(x,y) : «х//у»- прямая х параллельна прямой у, определенный на множе­стве прямых, лежащих на данной плоскости.

Аналогично определяется n -местный предикат.

Определение : n – местным предикатом называется функция Q(x₁, x₂,…,x_n), определенная на множестве М = М₁ М₂…М_n и принимающая на этом множестве значение из множества {1, 0}.

Предикат Р(х) является следствием предиката Q(x) (Q(x)P(x)), если I_QI_P.

Предикаты P(x) и Q(x) равносильны (Q(x)P(x)), если I_Q=I_P .

Для n –местных предикатов вводятся аналогичные понятия .

Примеры:

1. На множестве М= {3,4,5,6,7,8} заданы предикаты P(x) : «х – простое число», Q(x): «х – нечетное число». Составить таблицы истинности. Равносильны ли предикаты на множестве а) М; б) L = {2,3,4,5,6,7,8}; в) К = {3,4,5,6,7,8,9}?

Составим таблицы истинности предикатов на данных множествах:

На множестве М I_P = I_Q, следовательно на этом множестве предикаты равносильны. На множествах L и К условие равносильности не соблюдается.

2. Будут ли предикаты равносильны или один из них является следствием другого, если область определения R?

Область допустимых значений х и у для Р(х, у) : x>0 и y>0; область истинности – все точки ветви гиперболы у = 15/х, лежащей в первой четверти .

Область допустимых значений х и у для Q(х, у) : x>0 и y>0, или x<0 и y<0; область истинности – все точки обеих ветвей гиперболы у = 15/х.

Значит, I_P I_Q и предикат Q(x) является следствием предиката Р(х).

б) Р(х): «х² 0», Q(x): «2^|x| = cosx».

Область истинности предиката Р(х) : х =0, область истинности предиката Q(x) : х = 0.

Значит, I_P = I_Q и предикаты равносильны.