Лекция 15

ТЕМА: БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

ПЛАН:

1. Понятие отношения. Бинарное отношение

2. Операции над бинарными отношениями

3. Свойства бинарных отношений

4. Специальные бинарные отношения

Главная

1. Понятие отношения. Бинарное отношение.

Пусть заданы множества Х₁, Х₂,…,Х_n и рассматривается некоторое подмножество их прямого произведения  Х₁Х₂…Х_n , т.е. множество упорядоченных наборов (а₁, а₂,…,а_n), где а₁Х₁ , а₂Х₂,…,а_nХ_n. Это множество называется n – местным отношением или n –арным предикатом, заданном на множестве Х₁Х₂…Х_n .Если Х₁= Х₂=…=Х_n=М, то  Мⁿ и называется n – местным отношением на множестве М.

Пример: на множестве R³ задан трехместный предикат или трехместное отношение P(x, y, z): «x²+y²+z²=25».

Говорят что а₁, а₂,…,а_n находятся в отношении , если (а₁, а₂,…,а_n) .

Наиболее хорошо изучены двухместные отношения, которые называются бинарными. Приведем определение бинарных отношений, опираясь на определение n – местного отношения.

Пусть даны непустые множества Х и У, и подмножество их прямого произведения  ХУ.  называется бинарным отношением.

Т.е.  - множество упорядоченных пар (х, у). Говорят, что х и у находятся в отношении , если (х, у)  . Допускается запись: х  у , означающая, что (х, у)  .

Элементы х и у называются координатами или компонентами отношения .

Область определения бинарного отношения  называется множество D = {x| существует такое у, что х  у}.

Областью значений бинарного отношения  называется множество R = {y| существует такое х, что х  у}.

Понятие отношения следует рассматривать, как естественное обобщение знакомых нам отношений из математики и из жизненных представлений.

Рассмотрим некоторые примеры бинарных отношений.

1. Отношения на множестве натуральных чисел N:

а) «х  у», например, пары (7,7) и (6,8) принадлежат этому отношению, а пара (8,6) – не принадлежит. Область определения D =N, область значений R=N;

б) «иметь общий делитель, не равный единице». Пары (6,9), (4,2), (4,4) принадлежат этому отношению, а пары (7,9), (5,8) – не принадлежат. Область определения D =N, область значений R=N.

2. Отношение равенства на множестве действительных чисел R: «х = у». Этому отношению принадлежат все пары , в которых координаты равны, например, (9,9), (2,3; 2,3). Область определения D =R, область значений R=R.

3. Отношения на множестве точек декартовой плоскости:

а) «находится на одинаковом расстоянии от начала координат» - это множество всех пар (х,у), где хR и уR, таких, что х² + у² = r², т.е. все точки окружности с центром в начале координат и радиусом r;

б) «быть симметричными относительно оси х» - этому отношению принадлежат пары точек (х,у) и (х,-у).

4. Отношения на множестве людей:

а) «жить в одном городе»;

б) «быть старше (моложе);

в) «быть сыном»;

г) «быть знакомыми».