logo search
Лекции ДМ

Лекция 6

ТЕМА: АЛГЕБРА БУЛЯ. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В ТЕХНИКЕ.

ПЛАН:

  1. Алгебра Буля.

  2. Функции алгебры логики.

  3. Представление произвольной функции в виде формулы алгебры логики.

  4. Приложения алгебры логики в технике (релейно – контактные схемы).

Главная

  1. Алгебра Буля.

Равносильности III группы говорят о том, что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными за­конами относительно операций конъюнкции и дизъюнк­ции и дистрибутивным законом конъюнкции относитель­но дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).

Но в алгебре логики возможны и другие преобразова­ния, основанные на использовании равносильностей:

Эта особенность позволяет прийти и к далеко иду­щим обобщениям.

Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы {х, у, г,...}, в котором определены отношение «=» (равно) и три операции: «+» (сложение), «» (умно­жение) и «-» (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:

Коммутативные законы:

Такое множество М называется булевой алгеброй.

Если под основными элементами х, у, г, ... подразу­мевать высказывания, под операциями «+», «», «-» дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равносильнос­ти, то, как следует из равносильностей I, II и III групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются.

В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом удается подобрать конкретные объекты и конкретные соотношения между ними так, что все аксиомы выпол­няются, говорят, что найдена интерпретация (или мо­дель) данной системы аксиом.

Значит, алгебра логики является интерпретацией бу­левой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпрета­ции. Например, если под основными элементами х, у, г, ... множества М подразумевать множества, под операци­ями «+», «», «-» объединение, пересечение, дополнение соответственно, а под знаком равенства - знак равенства множеств, то мы приходим к алгебре множеств. Нетруд­но убедиться, что в алгебре множеств, все аксиомы алгеб­ры Буля выполняются.

Среди различных интерпретаций булевой алгебры имеются интерпретации и технического характера. Одна из них будет рассмотрена ниже. Как будет показано, она играет важную роль в современной автоматике.

  1.