Оценка параметров распределения случайных величин

Суть оценки параметров распределения случайных величин (англ. Inferential Statistics или Inferential Analysis) заключается в получении сведений о таких параметрах распределения случайной величины, как среднее значение , дисперсия ² и др. на основе анализа некоторой совокупности значений случайной величины, называемой выборкой. Не вдаваясь в подробности используемого при этом математического аппарата, мы здесь лишь обозначим общую схему действий.

Пусть мы имеем некоторую выборку значений х₁, х₂, …, х_N значений случайной величины х. Мы можем найти среднее значение и дисперсию S² по этой выборке согласно формулам:

Продолжение приложения

; .

Далее нас интересует, каково истинное среднее , найденное по всем значениям случайной величины х. Ответ заключается в том, что мы можем указать некоторый интервал (он называется доверительным интервалом) значений х, в который должно попадать  с некоторой заданной вероятностью . Величина доверительного интервала и вероятность  определяются изложенным ниже способом.

В качестве середины доверительного интервала берётся величина , а в качестве нижней и верхней границ доверительного интервала − значения -ч и +x соответственно. Величина x называется абсолютной погрешностью определения . Для нахождения можно использовать функцию Excel СРЗНАЧ (AVERAGE). x определяется по формуле

,

где k_,N – множитель, называемый коэффициентом Стьюдента, а − оценка стандартного отклонения величины от истинного среднего значения . Коэффициент Стьюдента зависит от задаваемой вероятности попадания истинного среднего значения  в доверительный интервал [ -x, +x] и числа N элементов выборки. Значения k_,N для разных  и N приведены в табл. 1. Эти значения можно получить, используя функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР. рассчитывается по формуле

,

где S_X – оценка стандартного отклонения Х от . S_X находится по формуле:

.

Величину S_X можно вычислить при помощи функции Excel СТАНДОТКЛ (STDEV).

Итак, в результате вычислений будут получены границы доверительного интервала, внутри которого лежит среднее значение  случайной величины Х с заданной вероятностью . Похожим способом надо действовать и в случае оценки других параметров распределения случайной величины.

Окончание приложения

Таблица 1

Значения коэффициентов Стьюдента