4.4. Основные сведения о случайных величинах

В этом подразделе будут кратко рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся генерации случайных чисел, функций распределения случайных величин и обработки статистических данных. Более подробную информацию по этим вопросам можно найти в приложении и в специальной литературе [5,7].

Работа стохастических моделей начинается с генерации случайных чисел, являющихся входными параметрами задачи. От того, насколько корректно производится эта операция, зависит успех всего процесса. Поэтому программисту полезно иметь о нём некоторое представление. Генерация случайных чисел осуществляется с помощью соответствующих устройств или алгоритмов, называемых генераторами случайных чисел. К их работе предъявляются следующие требования: 1) генерируемые числа должны быть действительно случайными; они не должны обнаруживать периодичности и других закономерностей; существуют специальные тесты для проверки этого условия; 2) генерируемые числа должны обеспечить требуемую точность вычислений, т.е. они должны содержать достаточное число знаков (после запятой); генераторы должны быть эффективными в части затрат времени и других ресурсов.

Все генераторы случайных чисел можно разделить на два типа: генераторы, использующие случайные физические процессы, и математические алгоритмы. Преимуществом первых является то, что они выдают действительно последовательность случайных чисел, а недостатком − относительно низкая эффективность. В настоящее время при расчётах используют в основном математические методы генерации случайных чисел, которые, на самом деле, не образуют истинно случайную последовательность, но для многих приложений дают вполне удовлетворительный результат. Полученные таким образом числа называются псевдослучайными. Преимущество алгоритмических методов заключается в удобстве их использования.

Из последовательностей случайных чисел нужно сформировать случайные переменные, которые характеризуются функциями распределения. Необходимо различать два класса случайных переменных – непрерывные и дискретные. Дискретная функция распределения описывает вероятность W, с которой случайная величина может иметь одно из возможных дискретных значений. Биноминальное распределение и распределение Пуассона могут описывать распределение вероятностей только дискретных величин. Если случайная величина меняется не дискретным, а непрерывным образом, то она описывается непрерывной функцией распределения. Важно отметить, что, в отличие от дискретного случая, функция распределения теперь описывает зависимость не вероятности, а плотности вероятности  от значения случайной величины. То есть по оси Y в двух указанных случаях откладываются разные величины. Связано это с тем, что непрерывной величине обычно не может быть приписана ненулевая вероятность иметь какое-либо конкретное значение. Можно лишь говорить о вероятности того, что значение случайной величины X находится в некотором интервале [x₁,x₂]. Таким образом, между вероятностью и плотностью вероятности существует простая связь:

= (4.2)

или, для достаточно малого интервала dx, в котором можно пренебречь изменением функции (x):

=(x₁)dx. (4.3)

Вероятность того, что случайная величина имеет хоть какое-то значение из всех допустимых, должна быть равна единице. Отсюда следует важное свойство функций распределения, называемое условием нормировки:

=1 (4.4)

в дискретном случае и

=1 (4.5)

в случае непрерывного распределения. Суммирование и интегрирование в формулах (4.4) и (4.5) ведётся по всем допустимым значениям случайной величины X.

Простейшим является равномерное распределение случайной величины в диапазоне от нуля до единицы (см. приложение). Ранее было показано, как из него можно получить другие функции распределения.

Значения входных переменных, в результате преобразований, преобразуются в значения выходных параметров модели. Так как первые являются случайными величинами, то и последние также будут принимать случайные значения, а следовательно, и описываться некоторыми функциями распределения, которые принято описывать при помощи определённых параметров. Наиболее популярными из них являются среднее значение  случайной величины X (англ. mean) и среднеквадратичное отклонение (или стандартное отклонение)  (standard deviation), определяемые по формулам:

= ; (4.6)

= (4.7)

в дискретном случае и в непрерывном случае

= ; (4.8)

= . (4.9)

Проблема заключается в том, что мы не знаем истинных функций W(x) или (x). Поэтому, чтобы оценить истинные значения  и  поступают следующим образом. После нескольких прогонов модели получают набор значений случайной величины X: x₁, x₂, …, x_N. Среднее значение  оценивается величиной , вычисленной по формуле

= , (4.10)

а значение  оценивается величиной

S = . (4.11)

Чем больше число прогонов модели N, тем точнее сделанная оценка. Точность оценки характеризуют так называемым доверительным интервалом, т.е. диапазоном X и вероятностью  попадания  в этот интервал. Значение X зависит от N,  и S и определяется при помощи формул математической статистики, которые приведены в Приложении. Отметим лишь, что в отчётах Arena фигурируют указанные значения и X.