Функции распределения дискретных величин

Распределение Бернулли. Пусть случайная величина принимает два значения: 0 и 1. Такие переменные обычно описывают возможность выбора одного из двух управленческих решений или одного из двух исходов некоторого события. Если вероятность одного из исходов p<1, то вероятность второго исхода 1-p, что можно записать в виде:

Говорят, что случайная величина с указанными выше свойствами описывается распределением Бернулли, где параметр распределения – p. Среднее значение – p, дисперсия – p(1-p).

Биномиальное распределение описывает вероятность n-кратного повторения некоторого события в результате серии из N испытаний. При этом наступление каждого события имеет вероятность p, не зависящую от результатов других испытаний. Биномиальное распределение задаётся формулой:

W_n= pⁿ(1-p)^N-n; (n=1, 2, …, N); 1p0.

Своё название это распределение получило потому, что величины W_n равны значениям слагаемых в биноме Ньютона:

(x+y)^N

при условии, что сумма x и y равна единице. Параметры распределения − N и p.

Среднее значение величины, имеющей биномиальную функцию распределения, равно Np, дисперсия – Np(1-p).

Продолжение приложения

В Excel функция, описывающая биномиальное распределение, называется БИНОМРАСП (BINOMDIST).

Гипергеометрическое распределение применимо в следующей ситуации. Пусть в закрытом ящике находится N шаров, М из которых – белые. Мы извлекаем наугад n<N шаров. Нас интересует вероятность того, что k из них будут белыми. Соответствующие вероятности описываются формулой:

, (k=0, 1, …, n),

где функция

называется числом сочетаний из r по q. Числа N, M и n являются параметрами распределения. Случайная величина называется распределённой гипергеометрически, если она принимает значения 0, 1, …, n с указанными вероятностями W_N_,_M(n,k). Гипергеометрическое распределение переходит в биномиальное, если N очень велико по сравнению с n.

Среднее значение случайной величины распределённой гипергеометрически: n(M/N), дисперсия – (M/N)(1-M/N)((N-n)/(N-1)).

В Excel гипергеометрическое распределение задаётся при помощи функции гипергеомет (HYPERGEODIST).

Распределение Пуассона имеет вид

W_k= , (k=0,1,…),

где  − параметр распределения. Распределение Пуассона можно использовать для приближённого описания биномиального распределения при больших N и малых p. При этом в качестве  нужно взять величину Np. Распределение Пуассона также часто используется для описания числа случайных событий, происходящих в течение фиксированного интервала времени. Условием его применения является распределение интервалов времени между двумя последовательными событиями по экспоненциальному закону.

Средняя величина, рассчитанная по распределению Пуассона, равна , среднеквадратичное отклонение – .

В Excel распределению Пуассона соответствует функция ПУАССОН (POISSON).

Продолжение приложения

Содержание