Функции распределения непрерывных величин

Равномерное распределение. В этом простейшем случае вероятности (или плотность вероятности) одинаковы в некотором диапазоне значений и равны нулю вне его. Равномерное распределение может быть как непрерывным, так и дискретным. В качестве примера рассмотрим волчок со стрелкой-указателем. Волчок раскручивают и после его остановки по направлению указателя определяют угол поворота в диапазоне от нуля до 360 градусов. Это устройство часто используется для определения случайного направления. Разобьём весь диапазон углов поворота на малые области равной величины и сделаем ряд наблюдений положения указателя после остановки волчка. Далее, построим гистограмму получившегося распределения. Для этого надо на горизонтальной оси отметить области, на которые мы разбили весь диапазон углов, а по вертикальной оси для каждой области отложить число попаданий в неё указателя. Чтобы от этой гистограммы перейти к собственно функции распределения, мы должны сделать ещё некоторые преобразования: 1) значения, отложенные по вертикальной оси, разделим на полное число измерений N; 2) устремим N к бесконечности. Чтобы далее получить непрерывное распределение мы должны устремить к 0 размер областей разбиения допустимых направлений в пространстве. Как можно заключить из рассмотренного примера, построение функции распределения является не очень лёгким занятием, даже в простейшем случае.

Равномерную функцию распределения непрерывной величины можно представить в виде следующей формулы:

.

Здесь функция распределения случайной величины х отлична от нуля лишь в том случае, если её значение находится в интервале от a до b. Параметры распределения − a и b.

Среднее значение – (a+b)/2. Дисперсия – (b-a)²/12.

Название функции распределения в Excel: СЛЧИС() (RAND()), а в Arena: UNIF.

Треугольная функция распределения. Предположим, что у нас есть два волчка. Попробуем ответить на вопрос: каков средний угол поворота их указателей, если определять его по формуле:

.

1 и 2 − случайные величины, следовательно, и их сумма должна быть случайной величиной. Какова функция распределения ? Ответ, который кажется очевидным, – равномерное распределение. Однако это не так.

Продолжение приложения

В данном случае функция распределения будет треугольной. Этот пример показывает, что обращаться с функциями распределения не так просто как это может показаться на первый взгляд.

Треугольная функция распределения обычно используется для описания случайной величины, о которой известно, что она лежит в определённом интервале (скажем, от a до b) и имеет наиболее вероятное значение с. Ниже приведена формула, описывающая треугольную функцию распределения:

Параметрами здесь являются числа a, b и c. Различают частные случаи треугольной функции распределения: 1) симметричную функцию распределения, когда точка c лежит посередине между минимальным и максимальным значениями; 2) функцию распределения в виде прямоугольного треугольника, когда точка c совпадает с минимальным или максимальным значением.

Среднее значение случайной величины с треугольной функцией распределения: (a+b+c)/3. Обратите внимание, что среднее значение не равно наиболее вероятному. Дисперсия: (a²+b²+c²-ab-ac-bc)/18. Название функции в Arena: TRIA.

Нормальное распределение или распределение Гаусса. Этот вид функции распределения часто встречается при рассмотрении статистических процессов. Для этого есть несколько причин. Одна из них состоит в том, что, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, оно описывает распределение случайной величины х, являющейся суммой большого числа случайных величин х_i:

х= , i.

Это замечательное свойство. Оказывается, что конкретный вид функций распределения случайных величин не оказывает заметного влияния (с некоторыми оговорками) на вид функции распределения суммарной величины.

Общий вид распределения Гаусса:

f(x)= exp[- ],

Продолжение приложения

где a и  – параметры распределения. Величина a (среднее значение) соответствует точке, в которой достигается максимум и через которую проходит ось симметрии. Параметр  (стандартное отклонение) равен расстоянию от оси симметрии до точки перегиба функции. Эту функцию распределения можно рассматривать как предельный случай биномиального распределения.

Дисперсия нормальной функции распределения равна ².

В Excel для операций со случайными величинами, распределёнными нормально, служат функции НОРМРАСП, НОРМОБР, НОРМСТРАСП и НОРМСТОБР (NORMDIST, NORMINV, NORMSDIST и NORMSINV соответственно). Две последние функции оперируют с так называемой нормальной функцией распределения стандартного вида, у которой среднее значение равно нулю, а дисперсия – единице. Функции НОРМРАСП и НОРМСТРАСП служат для генерации случайной величины, а функции НОРМОБР и НОРМСТОБР для определения значения функции распределения по известному значению случайной величины и параметров распределения.

Экспоненциальная функция распределения величины x описывается формулой

(x)= , x>0,

где параметр  является средним значением. Эта функция распределения обычно используется для описания случайных переменных, возникающих в задачах по определению надёжности, и в системах с очередями.

Дисперсия экспоненциальной функции распределения − ².

Значения случайной величины с экспоненциальной функцией распределения в Excel генерируются при помощи функции ЭКСПРАСП (EXPONDIST), а в Arena посредством функции EXPO.