4. Математична модель «хижак – жертва»

Аналогічні міркування були застосовані італійським математиком Вольтерра в 1931 р. для моделювання взаємодії двох популяцій за принципом хижак-жертва. Вона описує періодичну зміну кількості антагоністичних видів.

Задача моделювання формулюється в таким чином. Нехай у деякому екологічно закритому районі, живуть тварини двох видів. Жертви харчуються рослинної їжею, якої є достатня кількість. Хижаки можуть харчуватися тільки жертвами. Необхідно визначити, як буде мінятися чисельність жертв (M) і хижаків (N) з часом.

Якщо чисельність популяції хижаків буде описуватися рівнянням (11), то при розрахунках чисельності жертв необхідно врахувати зменшення їх чисельності за рахунок їх поїдання хижаками:

dM_п= – c×N×M×dt ,

де c – коефіцієнт, що характеризує частоту зустрічей жертв із хижаками. Таким чином, загальне рівняння для жертв буде мати вигляд:

dM/dt = p×M – p×M²/L – c×N×M , (12)

де p – «миттєва швидкість росту» популяції жертв без урахування обмежуючого впливу середовища, L – межа росту, до якої прагне розмір популяції жертв за умови їх окремого від хижаків існування

Рішення системи рівнянь (11) і (12) може бути використане для моделювання закономірностей динаміки екосистем на основі конкурентної взаємодії між популяціями різних видів, за принципом «хижак-жертва», «паразит-хазяїн», «травоїдне-рослина». Наприклад, динаміка коливання чисельності зайця-біляка і канадської рисі, рис. 66 ) добре описується цією системою, принаймні, на якісному рівні [^ix].

Рис. 45. Математична модель «хижак – жертва»