7. Моделювання епідемічних процесів

Епідемія – “саморегулюючий процес взаємодії мінливих гетерогенних популяцій паразита і хазяїна». Моделювання конкретних епідемій з метою передбачення масштабів зараження залежить від особливостей передачі, плину і результату даного захворювання, вироблення імунітету в перехворілих, складу популяцій хазяїв і паразитів.

Розглянемо найпростіший випадок передачі паразита, що викликає захворювання з довічним імунітетом, однорідній популяції хазяїна (людина). Позначимо чисельності сприйнятливих (тих, хто ще не хворів) і інфікованих членів популяції через S і I відповідно. Вважаючи, що розмір популяції хазяїна постійний (N = const = S + I + «ті, що одужали»), а всі немовлята сприйнятливі, дістанемо наступну систему рівнянь, що описують динаміку поширення епідемії [^x]:

dI/dt = a×I×S – b×I – g×I (16)

dS/dt = – a×I×S ,

де a – коефіцієнт зараження сприйнятливих; b – коефіцієнт видужання інфікованих; g – коефіцієнт смертності членів популяції. Член a×I×S визначає число заражених, пропорційне числу зустрічей інфікованих зі сприйнятливими, тобто добуткові їх численностей. Член b×I визначає видужання інфікованих, пропорційне їх числу. Член g×I визначає число померлих (помирають тільки від хвороби) і, відповідно, число народжених сприйнятливих.

У моделі (16) ми вважали, що людина стає контагіозною відразу після інфікування. Однак більшість захворювань мають інкубаційний період, у який людина ще не заразна. Таким чином, dI/dt залежить не від зустрічей сприйнятливих із інфікованими, а від зустрічей сприйнятливих із членами популяції, що вже стали заразними. Тобто спостерігається запізнення на час Δt . Ще одним важливим доповненням до моделі може бути урахування залежності імовірності інфікування від пори року (a=f(t)), тоді:

dI/dt = a(t)×I(t–Δt)×S – b×I – g×I , (17)

dS/dt = – a(t)×I(t–Δt)×S.

Результат чисельного інтегрування (17), що якісно погоджується з реальними даними, представлено на рисунку 70.

Рис. 49. Результат чисельного інтегрування