Решение дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) первого порядка называют уравнения, записанные в форме

dy/dx = f(x,y) (59)

Получить их аналитическое решение можно только в том случае, когда переменные можно разделить. В большинстве же случаев этого сделать нельзя. Уравнение (31), которое мы решали, приводя его к уравнению с интегралом, является частным случаем (59), в котором правая часть не зависит от функции y и поэтому разделение переменных в нем не составляет труда. Однако уравнения типа (31) также можно решать методами, разработанными для решения более сложной задачи (59). Таким образом, у нас появляется возможность в учебных целях решать уравнение (31) не только методами интегрирования, но методами решения дифференциальных уравнений, что мы и сделаем на примере расчета изменений термодинамических функций в ходе химической реакции в зависимости от температуры [11].

Уравнение (59) в общем случае имеет множество решений. Для получения единственного решения должно быть известно одно решение (начальное решение) y₀ при x₀. В химических задачах начальное часто можно найти довольно просто, например изменение концентрации вещества при времени реакции, равном нулю равно нулю. Часто для получения этого начального решения используют справочные данные, например тепловой эффект реакции при температуре 298 К, можно рассчитать по справочным данным о стандартной энтальпии образования веществ при 298 К.

Левая часть уравнения (59) – производная имеет ясный геометрический смысл – тангенс угла наклона касательной в точке (х,y). И этот тангенс угла равен правой части уравнения – функции f(x,y).