Глава 6. Дифференцирование

При дифференцировании, т. е. вычислении производных первого, второго и т. д. порядков, в практике химических расчетов может встретиться три случая:

• дифференцирование аналитически заданной функции;

• дифференцирование таблично заданной функции;

• дифференцирование в узлах таблично заданной функции;

Типичный случай использования дифференцирования аналитически заданной функции нам уже встречался в главе, посвященной решению уравнений методом Ньютона. Символьный процессор MathCad позволяет продифференцировать довольно сложные аналитически заданные функции и получить аналитическое решение, по которому легко вычислить производную в любой точке. В программе (23) приведен пример такого решения. На панели исчислений «Калькулятор» можно найти не только первую производную, но и производную любой n-ной степени. Функция, конечно, не должна содержать разрывов на участке дифференцирования.

При дифференцировании таблично заданной функции на всем протяжении изменения аргумента требуется решить задачу аппроксимации или интерполяции любым из способов, описанных ранее. В программе 24 такая задача решена для примера двумя способами сплайн-интерполяцией и аппроксимацией полиномом. Степень полинома в последнем случае можно подобрать в отдельной задаче. Полученные зависимости далее можно продифференцировать при любом значении аргумента. Такой способ используется для табличных данных, полученных экспериментально.

Следует отметить, что такой способ дифференцирования является некорректно поставленной задачей. Близость первоначальной и аппроксимирующей кривой теоретически не обозначает близости их первых производных, а тем более производных более высокого порядка, тем более, когда таблица исходных данных получена с неизбежными экспериментальными погрешностями.

Третий случай, когда нужно вычислить дифференциал в узле таблицы. Такая задача встречается, как правило, когда функция, которую надо продифференцировать, сложная и получить аналитическое решение задачи дифференцирования оказывается сложным или невозможным. В этом случае используется дифференцирование по одной переменной (частная производная).

Программа 23

Программа 24

Заменяя бесконечные изменения конечными получим три разных подхода:

(55)

(56)

(57)

Первый называется дифференцированием «назад», второй – дифференцированием «вперед», а третий – «по центру». Если нет других положительных показателей, то следует пользоваться дифференцированием по центру как имеющим наименьшую погрешность расчета.

Некоторые из математических задач статистической термодинамики включают уравнения с частными производными,

(58)

по которым можно рассчитать термодинамические функции идеального газа, если известна частная производная изменения логарифма молекулярной суммы по состояниям по температуре. В программе 25 частная производная рассчитывается по формуле дифференцирования «по центру».

Программа 25