Метод Эйлера

В этом методе проводится касательная из точки (x₀,y₀) c тангенсом угла наклона f (x₀,y₀) и продолжается до искомого значения y при x (рис. 7). Приближенное значение y вычисляется из линейной зависимости этой касательной:

(59)

Рис. 7. Графическая интерпретация метода Эйлера

Разность между истинным и приближенным значением составляет ошибку метода (y). Для снижения ошибки интервал [x₀,x] делят на N малых интервалов с шагом h и на каждом i-том интервале при значении аргумента x_i

(61)

используют формулу (59). При этом можно получить итерационную формулу Эйлера:

(62)

Чем меньше шаг, тем меньше погрешность метода (погрешность этого метода пропорциональна h²). Существуют также методы, уменьшающие ошибку на каждом шаге интегрирования. Один из них – метод Эйлера-Коши.

Программа 26