Введение

Настоящее пособие посвящено тем разделам теории приближений, которые непосредственно связаны с анализом и обработкой экспериментальных данных [1–3]. Задачи аппроксимации часто решают в аналитической химии при построении градуировочных графиков. Задачи интерполяции часто решают при использовании табличных данных из химических справочников. При обработке экспериментальных данных в лабораторных работах по физической химии используют линейный метод наименьших квадратов и т. д. Для правильного использования соответствующих методов расчета кратко сформулируем основные понятия, применяемые термины, постановки задач и взаимосвязи между ними.

Аппроксимация (от лат. approxi-mo – приближаюсь) – в общем случае является одним из основных понятий математики и означает замену одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным объектам. Аппроксимация позволяет исследовать свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются). В качестве математических объектов мы остановимся на двух – аппроксимации (приближении) функций и аппроксимации экспериментальных данных функцией. Несмотря на принципиальную разницу в источнике получения исходных данных, математическая постановка этих задач практически одинакова. Пусть дана зависимость величины y_i от величины x_i (i = 0…n) в виде таблицы – сеточной функции.

Таблица 1

В первой задаче ее получают табулированием исходной сложной функции f(x), а во второй задаче таблицу получают экспериментально. Согласно задаче аппроксимации, сеточную функцию y_i(x_i) требуется заменить подходящей аппроксимирующей функцией Y(x). Выбор вида аппроксимирующей функции зависит от многих факторов и поэтому требует определенного математического мышления и интуиции, которые развиваются после многократного решения разнообразных задач аппроксимации.

Любую пару (x_i, y_i) таблицы называют узлом сетки (количество узлов равно n+1). Узел сеточной функции на графике является точкой (парой данных). Решив задачу аппроксимации, можно вычислить значения функции Y в узлах сеточной функции как Y_i(x_i) и при любых значениях x, принадлежащих отрезку [x₀ , x_n] как Y(x). Последнее используется в частности для построения графика зависимости Y(x). При этом линия такой зависимости может и не проходить через узлы, но очевидно, что график зависимости аппроксимирующей функции должен максимально близко проходить к узлам сеточной функции. Это требование может быть математически сформулировано несколькими способами:

(Лаплас)

(Коши)

(Гаусс)

В последнем случае говорят о методе наименьших квадратов (МНК), который на сегодняшний день является практически единственным способом проведения аппроксимирующей функции.

Интерполяция (от лат. inter – между, polio – приглаживаю) – нахождение промежуточных значений сеточной функции при условии, что аппроксимирующая функция проходит точно по узлам сетки, т. е. Y(x_i) = y_i. При выполнении этого условия аппроксимирующая функция становится интерполирующей функцией. Таким образом, интерполяция является частным случаем аппроксимации.

Если интерполяцию проводят с учетом всех n+1 узлов сеточной функции, то интерполяцию называют глобальной. Если используется меньшее количество узлов (обычно 2-4), то интерполяцию называют локальной. При глобальной интерполяции вычисление промежуточных значений функции проводят по полученной интерполяционной формуле Y(x) при любых значениях x, принадлежащих отрезку [x₀, x_n]. При локальной интерполяции вычисления Y(x) проводят только в пределах используемых для получения интерполяционной функции значений x_i.

Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин (в последнем случае имеем множественную регрессию). Экспериментальные данные всегда содержат случайные ошибки. Поэтому при решении задачи аппроксимации экспериментальных данных некоторой функцией, параметры полученной аналитической зависимости, также являются случайными величинами и к ним могут быть применены методы теории вероятностей и статистики. Применение этих методов в сочетании с аппроксимацией методом наименьших квадратов (регрессионный анализ) позволяет вычислить погрешности параметров аппроксимирующей функции, погрешности вычисления функции Y(x), а также наметить пути выбора вида аппроксимирующей функции.

Использование аппроксимирующих или интерполирующих функций за пределами отрезка [x₀ , x_n], называется экстраполяцией.

При анализе экспериментальных данных используется также сглаживание – отделение истинного сигнала от высокочастотной составляющей, т. е. нахождение так называемой линии тренда и фильтрация – отделение анализируемого высокочастотного сигнала от низкочастотного.

Некоторые из указанных здесь задач аппроксимации могут быть выполнены с помощью алгоритмических языков программирования, специальных программ обработки данных, таких как ORIGIN, EXEL и других. В настоящем пособии предлагается решение всех задач с помощью MathCad, причем некоторые из них предлагается выполнить не только с помощью встроенных функций MathCad (когда алгоритм их выполнения скрыт от пользователя), но и в форме, открывающей алгоритм преобразований.

Важнейшими приложениями интерполяции функций являются численное интегрирование, численное дифференцирование и решение дифференциальных уравнений. При этом сложные для интегрирования или дифференцирования функции заменяются простыми (интегралы или дифференциалы которых являются табличными). Эти разделы классической теории численных методов также рассмотрены в данном пособии.

В каждой главе после краткого теоретического описания численного метода следуют многовариантные задания как математического, так и химического содержания, при решении которых у студента должны сформироваться навыки решения задач, связанных с применением аппроксимации и ее многообразных приложений.

Все разделы пособия включают в себя теоретические контрольные вопросы и расчетные многовариантные задачи, среди которых широко представлены задачи, решаемые в профессиональной практике химика.