Глава 1 аппроксимация методом наименьших квадратов

Пусть имеем сеточную функцию y_i(x_i) (табл. 1), полученную экспериментально (или табулированием исходной сложной функции). Для получения аппроксимирующей функции Y(x) будем использовать МНК, согласно которому аппроксимирующую кривую проводят таким способом, чтобы сумма квадратов невязок Δ_i (отклонений рассчитанных по аппроксимирующей функции значений Y(х_i) и экспериментальных значений y_i) была минимальной:

(1)

В качестве аппроксимирующей функции Y(x) в общем случае можно представить линейную комбинацию нескольких функций:

Y(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x) + ... + c_ky_k(x) (2)

где в качестве функций y₁(x) … y_k(х) можно использовать от одной до k функций, среди которых могут быть (или отсутствовать) степенная, показательная, логарифмическая, экспоненциальная и другие функции; с₁ … с_k – параметры аппроксимирующей функции.

Задача аппроксимации в этом случае сводится к вычислению постоянных с₁, с₂, ..., с_k уравнения (2). Для этого подставим уравнение (2) в уравнение (1) и найдем минимум функции R, приравняв частные производные по искомым параметрам к нулю:

(3)

Это условие эквивалентно системе уравнений

(4)

или

Эти k уравнений можно представить в матричном виде как

Y  C = B, (5)

где Y – матрица параметров, С – столбец искомых параметров; B – столбец свободных членов:

Все элементы матрицы Y и вектора-столбца B можно вычислить из сеточной функции по экспериментальным данным (табл. 1), поэтому (5) является системой из k уравнений с k неизвестными. Система линейных алгебраических уравнений (5) может быть решена относительно вектора С способами, описанными ранее в пособии [4]. В дальнейшем мы будем широко использовать метод обращения матрицы для решения СЛАУ, так как его реализация в МаthCad проста и лаконична:

С = Y^-1 B. (6)

В качестве промежуточного результата расчета имеется матрица, обратная матрицы параметров Y^-1, диагональные элементы которой можно использовать для расчета погрешностей (оценок дисперсий) искомых параметров С, связанных с величиной дисперсии адекватности (²):

, (7)

где R – сумма квадратов невязок; N – количество узлов (экспериментальных точек); k – число искомых параметров; f – число степеней свободы. Таким образом, аппроксимацию экспериментальных данных выбранной функцией при достаточно большом числе степеней свободы f можно использовать для регрессионного анализа.

Уравнение (5) и его решение (6), записанные в общем виде, можно использовать для получения решений при выборе любых функций и их линейных комбинаций в уравнении аппроксимирующего уравнения (2). Рассмотрим несколько приложений метода наименьших квадратов, часто встречающихся при обработке экспериментальных данных.

1. Линейная регрессия. Если в качестве аппроксимирующего уравнения выбрать линейную зависимость:

Y(x) = c₁ + c₂ x, (8)

то в уравнении (2) функции примут следующий вид:

y₁(x) = 1; y₂(x) = x;

а количество функций k = 2. Подставляя эти данные в уравнение (5) получим два уравнения с двумя неизвестными:

с₁N + c₂x_i = y_i

с₁x_i + c₂x²_i = y_ix_i. (9)

При использовании MathCad, для расчета параметров линейной регрессии можно использовать расчет обращением матрицы, а также с использованием ключевого слова line(x, y)(программа 1), где х – вектор-столбец значений аргумента, а у – вектор-столбец значений функции. Решение находится в матрице, нулевым элементом является отсекаемый отрезок, а первым – тангенс угла наклона прямой.

Расчет погрешностей параметров выполнен по уравнению (7), которое справедливо тогда, когда линейный характер зависимости не вызывает сомнений. При обработке физико-химических данных часто возникает необходимость проверки линейной зависимости. Для этого вычисляют величину коэффициента парной корреляции r между экспериментальными данными y_i и x_i, представляющего собой вероятность соблюдения линейной зависимости между этими величинами:

(10)

Для вычисления r в MathCad есть специальная функция corr(x,y) (программа 1).