Метод парабол Симпсона

Из уравнения (43) при аппроксимирующем полиноме второй степени (n= 2) и, пользуясь данными таблицы, получаем:

(44)

Из этой формулы видно, что для вычисления интеграла требуется вычисление функции в трех точках (в методе трапеций – в двух, а в методе прямоугольников – в одной точке). Переходя к i-тому малому интервалу, имеем:

(45)

После преобразований, приводящих к рационализации вычислений, получаем расчетную формулу Симпсона:

(46)

Метод Симпсона дает имеет минимальные погрешности как по ошибке усечения, так и по ошибке округления, поэтому часто используется реальных расчетах. В связи с этим выведены несколько форм записи уравнения (46). Некоторые из них использованы в программах 17, 18, 19.

По программе 16 можно вычислить точность интегрирования, только дважды сделав расчет при разных (в раза различающихся) N. В программе 17 это делается автоматически (1). Можно также сравнить полученный результат с вычисленным встроенной функцией MathCad c заданной точностью (2), как в программе 17, из которой следует, что обе этих оценки точности оказываются одного порядка и не зависят от шага интегрирования.

Для вычисления интеграла с заданной точностью можно поступить так. Начинают расчет с N=2, потом в 2 раза больше: 4,8,16 и т. д. Сравнивают два последовательно полученных значения интеграла. Если разница меньше заданной точности, то итерационный процесс заканчивают. Если точность не достигнута, то N увеличивают в 2 раза и повторяют расчет. Этот алгоритм применен в программе 18.

Программа 17

Программа 18