Метод прямоугольников

1. Выбор аппроксимирующей функции. Самым простым и надежным способом является представление аппроксимирующей функции в виде полиномов различной степени. Пусть степень полинома равна нулю. Тогда аппроксимирующая функция имеет вид:

Y(x) = f(a) (35)

Тогда приближенное значение интеграла равно заштрихованной области на рис. 4, а, т. е. площади прямоугольника (поэтому и метод называется методом прямоугольников):

(36)

Тот же результат мы получим, если аппроксимирующую функцию мы подставим вместо истинной функции и возьмем табличный интеграл:

(37)

2. Теперь разделим интервал на N частей с постоянным шагом h (рис. 4, б) и на каждом малом интервале проведем аппроксимирующую функцию. Таким образом, площадь под кривой f(x) в этом случае равна сумме площадей прямоугольников y_0, y_1, y₂ … y_n-1. Площадь отдельного прямоугольника можно вычислить как произведение шага на значение функции. Таким образом, получаем расчетную формулу прямоугольников:

(38)

f(x)

Ошибка усечения

f(a)

x

a b

а) аппроксимирующая функция на всем интервале интегрирования

б) аппроксимирующая функция на каждом малом интервале

Рис. 4. Метод прямоугольников

Та часть общей площади под кривой f(x), которая не вошла в заштрихованную область, очевидно, есть погрешность вычисления интеграла, ее называют «ошибкой усечения». Чем меньше шаг, тем меньше ошибка усечения. Однако слишком сильно уменьшать шаг интегрирования нельзя. С уменьшением шага интегрирования резко возрастает объем вычислений, особенно если сама подынтегральная функция требует больших вычислений. При этом растет и так называемая «ошибка округления». Для современных многоразрядных и быстродействующих машин это может показаться неактуальным, но учитывать такую возможность надо. Ошибку усечения можно уменьшить и другим способом, применив в качестве аппроксимирующей функции полином более высокой степени. Например, можно взять полином первой степени (метод трапеций), вместо нулевого (метод прямоугольников).