Метод трапеций

Повторим ту же самую методику получения итерационной формулы для линейной аппроксимирующей функции. В этом случае между точками f(a) и f(b) проводим линейную зависимость, а уравнение аппроксимирующей прямой имеет вид:

(39)

Площадь под аппроксимирующей прямой – это площадь трапеции (рис. 5), следовательно:

(40)

f(x)

f(b)

f(a)

x

a b

Рис. 5. Аппроксимирующая линия на интервале интегрирования

Интегрирование аппроксимирующей функции приводит к такому же результату:

(41)

Теперь представим, что разбили интервал [a, b] на N малых интервалов, аналогично рис. 4, б и выделим отдельный малый интервал (рис. 6).

Y(x))

Рис. 6. Метод трапеций

Из рисунка 6 следует, что расчетную формулу метода трапеций можно представить следующим образом:

(42)

В программе MathCad реализованы методы прямоугольников и трапеций для вычисления определенного интеграла с заданным количеством интервалов разбиения.

Программа 16

Чтобы оценить, с какой точностью рассчитано значение интеграла, надо записать в тетрадь для отчетов полученное значение интеграла как S_N, затем увеличить число интервалов N в 2 раза и записать полученное значение интеграла как S_2N. Точность вычисления равна разности по абсолютной величине S_2N – S_N.

По приведенной выше методике можно вывести формулы для полиномов более высоких порядков, чем нулевой и первой степени, однако как геометрическая, так и интегральная форма вывода этих уравнений становятся слишком громоздкими. Более простым способом вывода уравнений является использование квадратурных формул Котеса.