Дискретное вейвлет-преобразование непрерывных сигналов

Теорема Котельникова позволяет осуществлять полное восстановление временного сигнала с ограниченным спектром по дискретному набору отсчётов. Подобных результатов можно достигнуть и в области вейвлет-преобразований.

Непрерывное вейвлет-преобразование требует больших вычислительных затрат при его проведении. Поэтому для практического его применения необходима дискретизация значений a и b. Обычно σ = 2, а β = 1, тогда a = 2^j и b = k 2^j (j,kZ).

При дискретных значениях a и b вейвлет-функция может быть представлена в виде:

Ψ_j,k= . (5)

Поэтому прямое дискретное вейвлет-преобразование (ПДВП) сводится к вычислению коэффициентов C(a,b) по формуле (3), но с подстановкой дискретных a и b, тогда формула приобретёт вид:

C(j,k) = d_j,k = . (6)

Здесь C(j,k) = d_j,k – детализирующие коэффициенты для вейвлет-декомпозиции сигнала уровня k. Эти коэффициенты в этом случае дискретны.

Обратное дискретное вейвлет-преобразование (ОДВП) для непрерывных сигналов задаётся формулой:

(7,а)

Часто осуществляют нормировку базовой функции в частотной области C_ψ = 1. При этом окончательная формула реконструкции сигнала записывается в виде:

(7,б)

Теоретически доказано, что для ортогональных вейвлетов возможно точное восстановление сигнала, именуемое реставрацией, после прямого и инверсного дискретного вейвлет-преобразований с использованием дополнительной аппроксимации сигнала с помощью phi-функции. В ином случае восстановление даёт близкий к исходному сигналу s(t) приближённый сигнал, т.е. минимум среднеквадратической погрешности восстановления.