1.2.2 Основные весовые функции

В настоящее время известны десятки различных по эффективности весовых функций. В идеальном случае хотелось бы иметь весовую свертывающую функцию с минимальной амплитудой осцилляций, высокую и узкую в главном максимуме, и при этом с минимальными размерами весового окна.

В таблицах 2.2.1 и 2.2.2 приведены формулы и основные спектральные характеристики наиболее распространенных и часто используемых весовых окон. Носители весовых функций, в принципе, являются неограниченными и при использовании в качестве весовых окон действуют только в пределах окна и обнуляются за его пределами (как и в (2.1.1)), что выполняется без дальнейших пояснений. Для упрощения записи формулы приводятся в аналитической, а не в дискретной форме, с временным окном 2, симметричным относительно нуля (т.е. 0 ). При переходе к дискретной форме окно 2 заменяется окном 2N+1, а значения t - номерами отсчетов n (t = nt). Следует заметить, что большинство весовых функций на границах окна (n = N) принимают нулевые или близкие к нулевым значения, т.е. фактическое окно усечения данных занижается на 2 точки. Последнее исключается, если принять 2= (2N+3)t.

Таблица 2.2.1.

Основные весовые функции

Таблица 2.2.2.

Характеристики спектров весовых функций

Рис. 2.2.1. Примеры весовых функций.

Сравнительный вид весовых функций приведен на рис. 2.2.1. Расчет функций проведен с исключением нулевых значений на границах весового окна.

Спектральные окна Бартлетта и Карре не имеют отрицательных выбросов и применяются, в основном, для усечения корреляционных функций. Функция Карре не имеет нулей и представляет собой положительно убывающую функцию. Функции Хеннинга и Хемминга примерно одного класса, функция Хемминга является улучшенным вариантом функции Хеннинга. Частотные образы функций Бартлетта и Хемминга приведены на рис. 2.2.2.

Рис. 2.2.2. Частотные функции весовых окон.

Весовые окна Лапласа и Кайзера - усеченные функции соответственно Гаусса и Бесселя. Степень усечения зависит от параметра . Характеристики функций, приведенные в таблице 2.2.2, действительны при =3 для окна Лапласа и =9 для окна Кайзера. При уменьшении значения  крутизна главного максимума сглаживающих функций увеличивается (ширина пика уменьшается), но платой за это является увеличение амплитуды осцилляций.

Рис. 2.2.3. Частотные функции весовых окон.

Функции Лапласа и Кайзера являются универсальными функциями. По-существу, их можно отнести к числу двупараметровых: размером окна 2 (числом N) может устанавливаться ширина главного максимума, а значением коэффициента - относительная величина осцилляций на частотной характеристике весовых функций, причем вплоть до осцилляций П-окна при =0. Это обусловило их широкое использование, особенно при синтезе операторов фильтров.

Попутно заметим, что достаточно гладкие частотные характеристики весовых функций позволяют использовать их в качестве сглаживающих низкочастотных НЦФ.